$1.4.18^*.$ Мальчик, который может плавать со скоростью, в два раза меньшейскорости течения реки, хочет переплыть эту реку так, чтобы его как можно меньше снесло вниз по течению. Под каким углом к берегу он должен плыть? На какое расстояние его снесет, если ширина реки $H = 200$ м?
### Решение:
Рассмотрим движения мальчика со скоростью $\\vec{v}$, когда его сносит река с течением $\\vec{u}$
Распишем в проекциях на горизонтальную и вертикальные оси, учитывая, что $u = 2v$
$$
v_x = 2v - v \\cos\\alpha
$$
$$
v_y = v \\sin\\alpha
$$
Найдем время за которое мальчик переплывет реку
$$
t = \\frac{H}{v_y} = \\frac{H}{v \\sin\\alpha}
$$
За время $t$ его снесет вдоль берега на величину
$$
L = v_xt = H\\frac{2 - \\cos\\alpha}{\\sin\\alpha}\\tag{1}
$$
Для того чтобы найти минимум $L$ необходимо найти экстремум функции $f(\\alpha ) = \\frac{2 - \\cos\\alpha}{\\sin\\alpha}$ на интервале $\\alpha\\in (0,\\pi )$
Подставляем в $(1)$ и находим расстояние на которое его снесет
$$
\\fbox{$L = H\\sqrt{3}$}
$$
#### Ответ:
$\\alpha = 60^{\\circ}$, $l = 200 \\sqrt{3} \\approx 345$ м
### Альтернативное решение:
@@ -63,3 +63,24 @@Альтернативное решение:
+
### Альтернативное решение
+
+
Векторный метод. По сложению скоростей чтобы снос был минимальный, нужно направить абсолютную скорость под возможно максимальным углом к берегу.
+
+
Пусть скорость реки $2v$, а тела относительно воды $v$. Тогда треугольник скоростей по сложению с максимумом угла абсолютной к берегу показан на рисунке (всевозможные концы относительной скорости тела показаны окружностью).
+
+
+
+
Верхний угол в таком случае равен $\pi/2$. И для угла плытия тела к берегу
+
+
$$
+
\cos\alpha = \frac{v}{2v} = \frac{1}{2}.
+
$$
+
+
То есть $\alpha = \pi/3$.
+
+
Траектория совпадает с направлением абсолютной скорости и по геометрии
+
+
$$
+
l = H\tan\alpha = 200\sqrt 3~\text{м}.
+
$$
### Условие:
### Условие:
$1.4.18^*.$ Мальчик, который может плавать со скоростью, в два раза меньшейскорости течения реки, хочет переплыть эту реку так, чтобы его как можно меньше снесло вниз по течению. Под каким углом к берегу он должен плыть? На какое расстояние его снесет, если ширина реки $H = 200$ м?
$1.4.18^*.$ Мальчик, который может плавать со скоростью, в два раза меньшейскорости течения реки, хочет переплыть эту реку так, чтобы его как можно меньше снесло вниз по течению. Под каким углом к берегу он должен плыть? На какое расстояние его снесет, если ширина реки $H = 200$ м?
### Решение:
### Решение:
Рассмотрим движения мальчика со скоростью $\\vec{v}$, когда его сносит река с течением $\\vec{u}$
Рассмотрим движения мальчика со скоростью $\\vec{v}$, когда его сносит река с течением $\\vec{u}$
Распишем в проекциях на горизонтальную и вертикальные оси, учитывая, что $u = 2v$
Распишем в проекциях на горизонтальную и вертикальные оси, учитывая, что $u = 2v$
$$
$$
v_x = 2v - v \\cos\\alpha
v_x = 2v - v \\cos\\alpha
$$
$$
$$
$$
v_y = v \\sin\\alpha
v_y = v \\sin\\alpha
$$
$$
Найдем время за которое мальчик переплывет реку
Найдем время за которое мальчик переплывет реку
$$
$$
t = \\frac{H}{v_y} = \\frac{H}{v \\sin\\alpha}
t = \\frac{H}{v_y} = \\frac{H}{v \\sin\\alpha}
$$
$$
За время $t$ его снесет вдоль берега на величину
За время $t$ его снесет вдоль берега на величину
$$
$$
L = v_xt = H\\frac{2 - \\cos\\alpha}{\\sin\\alpha}\\tag{1}
L = v_xt = H\\frac{2 - \\cos\\alpha}{\\sin\\alpha}\\tag{1}
$$
$$
Для того чтобы найти минимум $L$ необходимо найти экстремум функции $f(\\alpha ) = \\frac{2 - \\cos\\alpha}{\\sin\\alpha}$ на интервале $\\alpha\\in (0,\\pi )$
Для того чтобы найти минимум $L$ необходимо найти экстремум функции $f(\\alpha ) = \\frac{2 - \\cos\\alpha}{\\sin\\alpha}$ на интервале $\\alpha\\in (0,\\pi )$
Подставляем в $(1)$ и находим расстояние на которое его снесет
Подставляем в $(1)$ и находим расстояние на которое его снесет
$$
$$
\\fbox{$L = H\\sqrt{3}$}
\\fbox{$L = H\\sqrt{3}$}
$$
$$
#### Ответ:
#### Ответ:
$\\alpha = 60^{\\circ}$, $l = 200 \\sqrt{3} \\approx 345$ м
$\\alpha = 60^{\\circ}$, $l = 200 \\sqrt{3} \\approx 345$ м
### Альтернативное решение:
### Альтернативное решение:
@@ -63,3 +63,24 @@Альтернативное решение:
### Альтернативное решение
Векторный метод. По сложению скоростей чтобы снос был минимальный, нужно направить абсолютную скорость под возможно максимальным углом к берегу.
Пусть скорость реки $2v$, а тела относительно воды $v$. Тогда треугольник скоростей по сложению с максимумом угла абсолютной к берегу показан на рисунке (всевозможные концы относительной скорости тела показаны окружностью).
Верхний угол в таком случае равен $\pi/2$. И для угла плытия тела к берегу
$$
\cos\alpha = \frac{v}{2v} = \frac{1}{2}.
$$
То есть $\alpha = \pi/3$.
Траектория совпадает с направлением абсолютной скорости и по геометрии
