| <!DOCTYPE html> | | <!DOCTYPE html> |
| <html lang="ru"> | | <html lang="ru"> |
| | | |
| <head> | | <head> |
| <meta charset="utf-8"> | | <meta charset="utf-8"> |
| <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> | | <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> |
| <meta http-equiv="content-language" content="ru"> | | <meta http-equiv="content-language" content="ru"> |
| <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> | | <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> |
| <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я."> | | <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я."> |
| <meta property="og:title" content="Решебник Савченко"> | | <meta property="og:title" content="Решебник Савченко"> |
| <meta property="og:image" content="img/logo.png"> | | <meta property="og:image" content="img/logo.png"> |
| <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сборника задач Савенко О.Я."> | | <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сборника задач Савенко О.Я."> |
| <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368"> | | <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368"> |
| <title>Решебник Савченко</title> | | <title>Решебник Савченко</title> |
| <link rel="stylesheet" href="../../css/css-latex/style.css"> | | <link rel="stylesheet" href="../../css/css-latex/style.css"> |
| <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png"> | | <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png"> |
| <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script> | | <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script> |
| <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script> | | <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script> |
| <script type="text/x-mathjax-config"> | | <script type="text/x-mathjax-config"> |
| MathJax.Hub.Config({ | | MathJax.Hub.Config({ |
| extensions: ['tex2jax.js'], | | extensions: ['tex2jax.js'], |
| jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'], | | jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'], |
| tex2jax: { | | tex2jax: { |
| inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']], | | inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']], |
| processEscapes: true, | | processEscapes: true, |
| processClass: 'tex2jax', | | processClass: 'tex2jax', |
| ignoreClass: 'html' | | ignoreClass: 'html' |
| }, | | }, |
| showProcessingMessages: false, | | showProcessingMessages: false, |
| messageStyle: 'none' | | messageStyle: 'none' |
| }); | | }); |
| </script> | | </script> |
| </head> | | </head> |
| <body style=""> | | <body style=""> |
| <header style="text-align:center;"> | | <header style="text-align:center;"> |
| <h2>Решение задач из Савченко О.Я.</h2> | | <h2>Решение задач из Савченко О.Я.</h2> |
| <p class="author"> | | <p class="author"> |
| Aliaksandr Melnichenka <br/> | | Aliaksandr Melnichenka <br/> |
| October 2023 | | October 2023 |
| <p> | | <p> |
| $1.4.18^*.$ Мальчик, который может плавать со скоростью, в два раза меньшейскорости течения реки, хочет переплыть эту реку так, чтобы его как можно меньше снесло вниз по течению. Под каким углом к берегу он должен плыть? На какое расстояние его снесет, если ширина реки $H = 200$ м? | | $1.4.18^*.$ Мальчик, который может плавать со скоростью, в два раза меньшейскорости течения реки, хочет переплыть эту реку так, чтобы его как можно меньше снесло вниз по течению. Под каким углом к берегу он должен плыть? На какое расстояние его снесет, если ширина реки $H = 200$ м? |
| </p> | | </p> |
| | | |
| <h3> Решение: </h3> | | <h3> Решение: </h3> |
| <p>Рассмотрим движения мальчика со скоростью $\vec{v}$, когда его сносит река с течением $\vec{u}$</p> | | <p>Рассмотрим движения мальчика со скоростью $\vec{v}$, когда его сносит река с течением $\vec{u}$</p> |
| <br> | | <br> |
| <center> | | <center> |
| <figure> | | <figure> |
| <img src="draw.png" | | <img src="draw.png" |
| loading="lazy" width="250" /> | | loading="lazy" width="250" /> |
| <figcaption> | | <figcaption> |
| Представление $\vec{v'}$ как суммы двух векторов | | Представление $\vec{v'}$ как суммы двух векторов |
| </figcaption> | | </figcaption> |
| </figure> | | </figure> |
| </center> | | </center> |
| <p>Распишем в проекциях на горизонтальную и вертикальные оси, учитывая, что $u = 2v$</p> | | <p>Распишем в проекциях на горизонтальную и вертикальные оси, учитывая, что $u = 2v$</p> |
| <p class="exp">$v_x = 2v - v \cos \alpha$</p> | | <p class="exp">$v_x = 2v - v \cos \alpha$</p> |
| <p class="exp">$v_y = v \sin \alpha$</p> | | <p class="exp">$v_y = v \sin \alpha$</p> |
| <p>Найдем время за которое мальчик переплывет реку</p> | | <p>Найдем время за которое мальчик переплывет реку</p> |
| <p class="exp">$$t = \frac{H}{v_y} = \frac{H}{v \sin \alpha}$$</p> | | <p class="exp">$$t = \frac{H}{v_y} = \frac{H}{v \sin \alpha}$$</p> |
| <p>За время $t$ его снесет вдоль берега на величину</p> | | <p>За время $t$ его снесет вдоль берега на величину</p> |
| <p class="exp">$$L = v_xt = H\frac{2 - \cos \alpha}{\sin \alpha}\;(1)$$</p> | | <p class="exp">$$L = v_xt = H\frac{2 - \cos \alpha}{\sin \alpha}\;(1)$$</p> |
| <p>Для того чтобы найти минимум $L$ необходимо найти экстремум функции $f(\alpha) = \frac{2 - \cos \alpha}{\sin \alpha}$ на интервале $\alpha \in (0,\pi)$</p> | | <p>Для того чтобы найти минимум $L$ необходимо найти экстремум функции $f(\alpha) = \frac{2 - \cos \alpha}{\sin \alpha}$ на интервале $\alpha \in (0,\pi)$</p> |
| <br> | | <br> |
| <center> | | <center> |
| <figure> | | <figure> |
| <img src="graph.png" | | <img src="graph.png" |
| loading="lazy" width="350" /> | | loading="lazy" width="350" /> |
| <figcaption> | | <figcaption> |
| График функции $f(\alpha) = \frac{2 - \cos \alpha}{\sin \alpha}$ | | График функции $f(\alpha) = \frac{2 - \cos \alpha}{\sin \alpha}$ |
| </figcaption> | | </figcaption> |
| </figure> | | </figure> |
| </center> | | </center> |
| <p>Найдем $\alpha$, при котором производная равна $0$ </p> | | <p>Найдем $\alpha$, при котором производная равна $0$ </p> |
| <p class="exp">$$\frac{df}{d \alpha} = \frac{\sin ^2 \alpha - \cos \alpha(2-\cos \alpha)}{\sin ^2 \alpha}=0$$</p> | | <p class="exp">$$\frac{df}{d \alpha} = \frac{\sin ^2 \alpha - \cos \alpha(2-\cos \alpha)}{\sin ^2 \alpha}=0$$</p> |
| <p class="exp">$1-2 \cos \alpha=0$</p> | | <p class="exp">$1-2 \cos \alpha=0$</p> |
| <p class="exp">$\fbox{$\alpha = \pi/3$}$</p> | | <p class="exp">$\fbox{$\alpha = \pi/3$}$</p> |
| <p>Подставляем в $(1)$ и находим расстояние на которое его снесет </p> | | <p>Подставляем в $(1)$ и находим расстояние на которое его снесет </p> |
| <p class="exp">$\fbox{$L = H\sqrt{3}$}$</p> | | <p class="exp">$\fbox{$L = H\sqrt{3}$}$</p> |
| | | |
| | | |
| <h3> Ответ: </h3> | | <h3> Ответ: </h3> |
| <p class="exp">$\alpha = 60^{\circ}$<br>$l = 200 \sqrt{3} ≈ 345$ м</p> | | <p class="exp">$\alpha = 60^{\circ}$<br>$l = 200 \sqrt{3} ≈ 345$ м</p> |
| <h3> Альтернативное решение: </h3> | | <h3> Альтернативное решение: </h3> |
| <div class="video-container"> | | <div class="video-container"> |
| <iframe class="video" src="https://www.youtube.com/embed/B8YqZELln3M" frameborder="0" allowfullscreen></iframe> | | <iframe class="video" src="https://www.youtube.com/embed/B8YqZELln3M" frameborder="0" allowfullscreen></iframe> |
| </div> | | </div> |
| | | |
| <br> | | <br> |
| | | |
| <footer class="row container"> | | <footer class="row container"> |
| <p> | | <p> |
| <small> © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, 2023-2024 <br></small> | | <small> © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, 2023-2024 <br></small> |
| </p> | | </p> |
| <p> | | <p> |
| <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> astrosander01@gmail.com <br></small> | | <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> astrosander01@gmail.com <br></small> |
| </p> | | </p> |
| </footer> | | </footer> |
| </body> | | </body> |
| | | |
| </html> | | </html> |
