$2.1.45^*.$ На плоскости, тангенс угла наклона которой равен коэффициенту трения, лежит монета. В горизонтальном направлении вдоль плоскости монете сообщили скорость $v$. Найдите установившуюся скорость монеты.
+
### Решение:
Проектируем $m\\vec{g}$ на $OY$:
Векторный метод. Прямое решение математически сложное, поэтому предполагаем сделать вычисление через <i>инвариант</i>, который нужно найти.
+
Второй закон Ньютона в плоскости движения (силы и составляющие, перепендикулярные плоскости компенсируются, так что их действие можно убрать)
−
### Альтернативное решение:
−
+
$$
+
\vec f + m\vec g_\parallel = m\vec a,
+
$$
+
где $\vec f$ есть силы трения (лежит полностью в плоскости), $m\vec g_\parallel$ есть составляющая силы тяжести вдоль плоскости.
+
Заметим по условию
+
+
$$
+
mg_\parallel = mg\sin\alpha,
+
$$
+
+
где $\alpha$ есть угол наклона плоскости к горизонту, и
+
+
$$
+
f = \mu mg\cos\alpha = mg\sin\alpha.
+
$$
+
+
Так что второй закон становится
+
+
$$
+
-f\vec\tau + f\gamma = m\vec a,
+
$$
+
+
где $\vec\tau = \dfrac{\vec v}{v}$ есть единичный вектор на направление скорости, $\vec\gamma = \dfrac{\vec g_\parallel}{g_\parallel}$ есть единичный вектор на направление вектора $\vec g_\parallel$.
+
+
Симметрия двух сил, инвариант может быть связан с симметричными частями $-f\vec\tau,f\vec\gamma$.
+
+
Сдеалем преобразование, связанное с частью $-f\vec\tau$, как домножение на вектор $\vec\tau$ (проецирование на направление скорости)
+
+
$$
+
-f + f\vec\gamma\vec\tau = ma_\tau.
+
$$
+
+
Посмотрим на аналогичное преобразование, связанное с частью $f\vec\gamma$, как домножение на вектор $\vec\gamma$ (проецирование на направление $\vec g_\parallel$)
+
+
$$
+
-f\vec\tau\vec\gamma + f = ma_\gamma.
+
$$
+
+
Видно, что сложение двух предыдущих дает инвариант
в его определении для физики как величины, производная которой по времени ноль.
+
+
Инвариант есть
+
+
$$
+
v_\tau + v_\gamma = \text{const}.
+
$$
+
+
В начале эти проекции скорости равны $v_\tau = v$ и $v_\gamma = 0$, то есть с одной стороны инвариант
+
+
$$
+
v + 0 = \text{const}
+
$$
+
+
В конце процесса $v_\tau = v_\gamma = u$ (возможное устойчивое движение), поэтому инвариант
+
+
$$
+
2u = \text{const}.
+
$$
+
+
Из двух предыдущих
+
+
$$
+
u = \frac{v}{2}.
+
$$
+
+
+
#### Ответ: $v/2$.
@@ -1,7 +1,8 @@
### Условие:
### Условие:
$2.1.45^*.$ На плоскости, тангенс угла наклона которой равен коэффициенту трения, лежит монета. В горизонтальном направлении вдоль плоскости монете сообщили скорость $v$. Найдите установившуюся скорость монеты.
$2.1.45^*.$ На плоскости, тангенс угла наклона которой равен коэффициенту трения, лежит монета. В горизонтальном направлении вдоль плоскости монете сообщили скорость $v$. Найдите установившуюся скорость монеты.
### Решение:
### Решение:
Проектируем $m\\vec{g}$ на $OY$:
Проектируем $m\\vec{g}$ на $OY$:
Векторный метод. Прямое решение математически сложное, поэтому предполагаем сделать вычисление через <i>инвариант</i>, который нужно найти.
Второй закон Ньютона в плоскости движения (силы и составляющие, перепендикулярные плоскости компенсируются, так что их действие можно убрать)
### Альтернативное решение:
$$
\vec f + m\vec g_\parallel = m\vec a,
$$
где $\vec f$ есть силы трения (лежит полностью в плоскости), $m\vec g_\parallel$ есть составляющая силы тяжести вдоль плоскости.
Заметим по условию
$$
mg_\parallel = mg\sin\alpha,
$$
где $\alpha$ есть угол наклона плоскости к горизонту, и
$$
f = \mu mg\cos\alpha = mg\sin\alpha.
$$
Так что второй закон становится
$$
-f\vec\tau + f\gamma = m\vec a,
$$
где $\vec\tau = \dfrac{\vec v}{v}$ есть единичный вектор на направление скорости, $\vec\gamma = \dfrac{\vec g_\parallel}{g_\parallel}$ есть единичный вектор на направление вектора $\vec g_\parallel$.
Симметрия двух сил, инвариант может быть связан с симметричными частями $-f\vec\tau,f\vec\gamma$.
Сдеалем преобразование, связанное с частью $-f\vec\tau$, как домножение на вектор $\vec\tau$ (проецирование на направление скорости)
$$
-f + f\vec\gamma\vec\tau = ma_\tau.
$$
Посмотрим на аналогичное преобразование, связанное с частью $f\vec\gamma$, как домножение на вектор $\vec\gamma$ (проецирование на направление $\vec g_\parallel$)
$$
-f\vec\tau\vec\gamma + f = ma_\gamma.
$$
Видно, что сложение двух предыдущих дает инвариант
