2.2.3 | правка #5689 | Решения Савченко

Решебник Савченко

Решение задач из Савченко О.Я.

Aliaksandr Melnichenka
October 2023

    <h3 id="back-link"><a href="/ru#2.2">$\leftarrow$Назад</a></h3>

    <h3> Условие: </h3>

    <p>     
     $2.2.3.$ Космический корабль должен, изменив курс, двигаться с прежним по модулю импульсом $р$ под углом $\alpha$ к первоначальному направлению. На какое наименьшее время нужно включить двигатель с силой тяги $F$ и как при этом нужно ориентировать ось двигателя?
   </p>
  <h3> Решение: </h3>
  <p class="TxtSolutions">

При включении двигателя с силой тяги $$F$$ на время $\Delta t$ , импульс корабля будет равен

\vec{p_1} = \vec{p} + \vec{\Delta p}

, (1)

где $\vec{\Delta p} = \vec{F} \cdot \Delta t$ . (2)

Выберем направление оси $$x$$ и спроецируем уравнение (2)

\Delta p = F \cdot \Delta t

. (3)

С другой стороны, из уравнения (1) в проекции на ось $$x$$

\Delta p =2p \cdot sin\frac{\alpha}{2}

(рис.). (4)

Приравняем правые части уравнений (3) и (4)

F \cdot \Delta t = 2p \cdot sin\frac{\alpha}{2}

Откуда искомое время включения двигателя $\Delta t = \frac{2p \cdot sin\frac{\alpha}{2}}{F}$

Ось двигателя нужно ориентировать к первоначальному направлению под углом

\beta = \frac{\pi}{2} + \frac{\alpha}{2}

Альтернативное решение

Нужно добавить импульс

p_2\sqrt{2+2\cos(\alpha)} = 2p\sin(\frac{\alpha}{2})

Тогда время

\Delta t = \frac{p_2}{F}=\frac{2p}{F}\sin(\frac{\alpha}{2})

Угол между начальной скоростью и силой $$F$$ будет равен углу р/б треугольника с углом при вершине:

\frac{1}{2}(\pi - \alpha)

Двигатель ориентирован в обратном силе направлении, значит

\beta = \pi - \frac{1}{2}(\pi - \alpha) = \frac{1}{2}(\pi + \alpha)

Ответ

$\Delta t = \frac{2p \cdot sin\frac{\alpha}{2}}{F}$ $\beta = \frac{\pi}{2} + \frac{\alpha}{2}$

<footer class="row container">
<br>
<p>

    <p>
        <small> © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, 2023-2024 <br></small>
    </p>
    <p>
        <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
    </p>
</footer>