Updated 9.1.5-9.1.9 solutions

astrosander правка от
Посмотреть решение История
правка #9835 предыдущая #8951 GitHub 7836c42 ← раньше позже →
ru/9.1.8.md +88 −107
@@ -1,46 +1,40 @@
−<html>
− <head>
− <title>Решебник Савченко</title>
−
− <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник">
− <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я.">
− <meta http-equiv="content-language" content="ru">
− <meta charset="utf-8">
− <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
− <meta property="og:title" content="Решебник Савченко"/>
− <meta property="og:image" content="img/logo.png">
− <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сбоника задач Савенко О.Я.">
− <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368" />
+<!DOCTYPE html>
+<html lang="ru">
− <link rel="stylesheet" type="text/css" href="../../css/css-latex/style.css">
− <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png" />
−
− <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script>
−
− <script type="text/javascript" async
− src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML">
− </script>
−
− <!-- MathJax configuration -->
− <script type="text/x-mathjax-config">
− MathJax.Hub.Config({
− extensions: ['tex2jax.js'],
− jax: ['input/TeX','output/HTML-CSS'],
− tex2jax: {
− inlineMath: [ ['$','$'], ['\\(','\\)'] ],
− processEscapes: true,
− processClass: 'tex2jax',
− ignoreClass: 'html'
− },
− showProcessingMessages: false,
− messageStyle: 'none'
− });
− </script>
− </head>
−
− <body style="">
− <div class="container row">
− <div class="col flash"> <header class = "margin-main" style="text-align:center;">
+<head>
+ <meta charset="utf-8">
+ <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
+ <meta http-equiv="content-language" content="ru">
+ <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник">
+ <meta name="description" content="В однородном магнитном поле индукции B находится квадратная рамка с током. Масса рамки m, ток в ней I. Определите частоту свободных колебаний рамки вокруг оси OO^\prime">
+ <meta name="author" content="Aliaksandr Melnichenka">
+ <meta name="date" content="2023-10" scheme="YYYY-MM">
+ <meta property="og:title" content="В однородном магнитном поле индукции B находится квадратная рамка с током. Масса рамки m, ток в ней I. Определите частоту свободных колебаний рамки вокруг оси OO^\prime">
+ <meta property="og:image" content="img/logo.png">
+ <meta property="og:description" content="В однородном магнитном поле индукции B находится квадратная рамка с током. Масса рамки m, ток в ней I. Определите частоту свободных колебаний рамки вокруг оси OO^\prime">
+ <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368">
+ <title>В однородном магнитном поле индукции B находится квадратная рамка с током. Масса рамки m, ток в ней I. Определите частоту свободных колебаний рамки вокруг оси OO^\prime</title>
+ <link rel="stylesheet" href="https://savchenkosolutions.com/css/css-latex/style.css">
+ <link rel="icon" href="https://savchenkosolutions.com/img/logo.png" type="image/png">
+ <script src="https://savchenkosolutions.com/js/jquery-1.10.1.min.js"></script>
+ <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script>
+ <script type="text/x-mathjax-config">
+ MathJax.Hub.Config({
+ extensions: ['tex2jax.js'],
+ jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'],
+ tex2jax: {
+ inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']],
+ processEscapes: true,
+ processClass: 'tex2jax',
+ ignoreClass: 'html'
+ },
+ showProcessingMessages: false,
+ messageStyle: 'none'
+ });
+ </script>
+</head>
+ <body style="">
+ <header style="text-align:center;">
<a href="../../" style="text-decoration: none;">
<div id="logo">
<span><img src="../../img/book.png"></span><span>Savchenko Solutions</span>
@@ -50,84 +44,71 @@
Solutions&nbsp;of&nbsp;Savchenko Problems&nbsp;in&nbsp;Physics <br>
<i><b>knowledge must be free</b></i>
</p>
− </header>
− </div>
−
− <div id="main" class="col col-lg-9">
− <div class="row">
− <div class="col caption">
− <h2>
− <a href="../../ru#9.1">←Назад</a>
− </h2>
− </div>
− </div>
+ </header>
+ <h3 id="back-link"><a href="../../ru#9.1">$\leftarrow$Назад</a></h3>
− <div id="1" class="row odd">
+ <h3> Условие </h3>
+ <p>
+ $9.1.8^*.$ В однородном магнитном поле индукции $B$ находится квадратная рамка с током. Масса рамки $m$, ток в ней $I$. Определите частоту свободных колебаний рамки вокруг оси $OO^\prime$
+</p>
+<center>
+ <figure>
+ <img src="statement.png"
+ loading="lazy" width="200" />
+ <figcaption>
+ К задаче $9.1.8^*$
+ </figcaption>
+ </figure>
+</center>
+<p>
+ </p>
− <div class="col col-lg-12">
− <h3>
− Условие:
− </h3>
− <div class="task">
− <p>
− \(9.1.8^*.\)
− В однородном магнитном поле индукции $B$ находится квадратная рамка с током. Масса рамки m, ток в ней I. Определите частоту свободных колебаний рамки вокруг оси $OO^\prime$
− </p>
− <div class="StatementDiv">
− <img class="Statement" src="statement.png" alt="9.1.8">
− </div>
− </div>
− <hr>
− <h3>
− Решение:
− </h3>
+ <h3>Решение</h3>
+ <p>
+ Рассмотрим малое отклонение от равновесия на угол $\alpha$: </p><p>
+Момент действующий на рамку со стороны магнитного поля:
+$$M = BIS\cdot \sin\alpha = BIa^2 \sin\alpha$$
+где $a$ — сторона рамки</p><p>
+сила тяжести не создает момента так как проходит через точку вращения</p><p>
+Из основного уравнения вращательного движения:
+$$J\ddot{\alpha} = \sum\pm{M_i}$$
+для нашего случая:
+$$J\ddot{\alpha} = -BIa^2 \sin\alpha\quad (1)$$
+теперь найдём момент инерции $J$ рамки при наблюдаемых колебаниях</p><p>
+Момент инерции верхней и нижней стороны рамки составляет
+$$J_1=J_2 = \frac{m}{4}\cdot \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{m a^2}{16}\quad (2)$$
+где $a/2$ — расстояние до этой стороны.</p><p>
+Момент инерции боковых сторон:
+$$J_3 = J_4 = \frac{1}{12} \cdot \frac{m}{4}\cdot a^2 = \frac{m a^2}{48}\quad (3)$$
+Находим момент инерции $J$, подставляя $(2)$ и $(3)$
+$$J = J_1 + J_2 + J_3 + J_4 $$
+$$J = 2\cdot \frac{m a^2}{16} + 2 \cdot \frac{m a^2}{48} = \frac{m a^2}{6}$$
+тогда уравнение $(1)$ будет иметь вид:
+$$\frac{m a^2}{6}\ddot{\alpha} = -BIa^2 \sin\alpha$$
+$$\ddot{\alpha} = -\frac{6BI}{m} \alpha(t)$$
+Решая уравнение гармонических колебаний, находим укловую частоту
+$$\boxed{\omega = \sqrt{\frac{6BI}{m}}}$$
+ </p>
− <div class="solutions">
− <p class="TxtSolutions"> Рассмотрим малое отклонение от равновесия на угол $\alpha$ : Момент действующий на рамку со стороны м/п: $M = BIS\cdot sin(\alpha) = BIa^2 sin(\alpha)$ ($a$ - сторона рамки)сила тяжести не создает момента т. проходит через точку вращения.
−Из основного ур-я вращательного движения:
−$J\ddot{\alpha} = \sum\pm{M_i}$ для нашего случая: $J\ddot{\alpha} = -BIa^2 sin(\alpha)$ (1)
−теперь найдём момент инерции $J$ рамки при данных колебаниях
−Момент инерции верхней и нижней стороны рамки равен: $J_1=J_2 = \frac{m}{4}\cdot (\frac{a}{2})^2 = \frac{m a^2}{16}$ <br> $\frac{a}{2}$- расстояние до этой стороны)
−момент инерции боковых сторон: $J_3 = J_4 = \frac{1}{12} \cdot \frac{m}{4}\cdot a^2 $$= \frac{m a^2}{48}$
−$J = J_1 + J_2 + J_3 + J_4 $$= 2\cdot \frac{m a^2}{16} + 2 \cdot \frac{m a^2}{48} $$= \frac{m a^2}{6}$
−тогда уравнение (1) будет иметь вид: $\frac{m a^2}{6}\ddot{\alpha} = -BIa^2 sin(\alpha)$ сократим $a^2$
−$\ddot{\alpha} = -\frac{6BI}{m} \alpha$ тогда $\omega = \sqrt{\frac{6BI}{m}}$
− </p>
− </div>
+ <h4>Ответ</h4>
+ <p>
+ $$\omega = \sqrt{\frac{6BI}{m}}$$
+ </p>
+ <p style="text-align: right; font-style: italic; font-size: 14;">
+ Andrei Yersh<br>
+ </p>
− <h3>
− Ответ: $\fbox{$\omega = \sqrt{\frac{6BI}{m}}$}$
−
− </h3>
− </div>
− </div>
−
−
−
−
−
− </div> <footer class="row container">
+ <footer class="row container">
<br>
<p>
<small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small>
</p>
<p>
<small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
</p>
</footer>
+ </body>
− <script type="text/javascript" src="../../js/bootstrap-affix.js"></script>
− <script type="text/javascript">
− $(function(){
− setTimeout(function () {
− $('.back-to-top').affix();
− }, 100);
−
− });
− </script>
−
−
− </body>
</html>