Задача 14.3.5^∗

Решение

Первым делом разберёмся с ионами. С ними всё просто: изначально они покоились, теперь движутся. Сложение скоростей при переходе между системами не создаёт затруднений. Поэтому их плотность будет расчитываться по формулам, аналогичным прошлой задаче, с учётом только разных скоростей:
$$\rho_i=\frac{\rho}{\sqrt{1-\beta_1^2}}$$

С электронами всё сложнее. Для нахождения плотности нам необходимо найти длину из преобразований Лоренца. Из прошлой задачи мы помним, что собственная длина(в системе, где электроны покоятся):
$$l_0=l'\gamma$$
Где $l'$ это длина в изначальной системе(электроны двигались с $-\beta c$)
Теперь найдём Лоренц фактор в конечной системе. Для этого нам придётся воспользоваться релятивистским законом сложения скоростей:
$$v=\frac{c(\beta_1-\beta)}{1-\beta_1 \beta}$$
Теперь находим длину в конечной системе:
$$l=l_0\cdot \sqrt{1-(\frac{\beta_1-\beta}{1-\beta_1 \beta})^2}$$
А значит конечная плотность электронов:
$$\rho_e=\frac{-q}{l}=\frac{-q}{l'\gamma \cdot \sqrt{1-(\frac{\beta_1-\beta}{1-\beta_1 \beta})^2}}$$
Подставляем $\gamma$ и приводим к общему знаменателю подкаренное. Затем упрощаем и получаем:
$$\rho_e=-\gamma_1 \rho \cdot (1-\beta_1 \beta)$$

Рассуждения в пунктах б в идентичны рассуждениям в прошлой задаче