Решебник Савченко
<h3 id="back-link"><a href="/ru#2.2">$\leftarrow$Назад</a></h3>
<h3> Условие: </h3>
<p>
$2.2.5^*.$ Ящик с песком массы $M$ лежит на горизонтальной плоскости, коэффициент трения с которой равен $\mu$. Под углом $\alpha$ к вертикали в ящик со скоростью $v$ влетает пуля массы $m$ и почти мгновенно застревает в песке. Через какое время после попадания пули в ящик, он, начав двигаться, остановится? При каком значении $\alpha$ он вообще не сдвинется?
</p>
<h3> Решение: </h3>
<p>
Пусть время остановки пули равно $dt$, тогда, чтобы остановить, ящик может двигаться только по горизонтали, значит в момент попадания и пули гаситься вертикальная проекция импульса силой реакции опоры (песка) $N_1$, тогда
$$N_1dt = mv\cos\alpha\Rightarrow N_1 = \frac{mv\cos\alpha}{dt}$$
Распишем силу трения в этот момент:
$$F_{\text{тр}} \leq \mu N = \mu ((M+m)g + N_1) = \mu (M+m)g + \mu\frac{mv\cos\alpha}{dt}$$
Так как $dt$ бесконечно малая величина, то
$$N_1 \gg (M+m)g \Rightarrow F_{\text{тр}} \leq \mu\frac{mv\cos\alpha}{dt}$$
Теперь запишем изменение импульса ящика с песком за $dt$
$$\Delta p = F_{\text{тр}}dt \leq \mu mv \cos\alpha$$
($F_{\text{тр}}$ и $\Delta p$ не достегают наибольшего значения только в ситуации, когда ящик продолжает покоиться)
В момент соударения ящик с пулей приобретают импульс:
$$p_1 = mv\sin\alpha$$
(горизонтальная проекция импульса пули)
</p>
<p>
Для того, чтобы сдвинуть ящик, нужно, чтобы
$$p_1 > \Delta p$$
$$mv\sin\alpha > \mu mv\cos\alpha$$
таким образом мы получили условие движения ящика $\tan\alpha > \mu$.
После соударения, во время движения ящика, на него будет действовать сила трения
$$F_{\text{тр}}= \mu (M+m)g$$
Эта сила уменьшает полученный ящиком импульс $p_1 - \Delta p$ , тогда справедливо:
$$F_{\text{тр}}t = p_1 - \Delta p $$
$$ t = \frac{p_1 - \Delta p}{F_{\text{тр}}}$$
$$ \boxed{t = \frac{mv(\sin\alpha - \mu\cos\alpha )}{\mu (M+m)g}}$$
</p>
<h3> Ответ: </h3>
<p>
$t = mv(\sin\alpha − \mu\cos\alpha )/[\mu (m + M)g]$ при $\tan\alpha > \mu$
</p>
<p>
при $\tan\alpha\leq \mu$ ящик не сдвинется
</p>
<footer class="row container">
<br>
<p>
<p>
<small> © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, 2023-2024 <br></small>
</p>
<p>
<small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
</p>
</footer>
Savchenko Solutions