| <!DOCTYPE html> | | <!DOCTYPE html> |
| <html lang="ru"> | | <html lang="ru"> |
| | | |
| <head> | | <head> |
| <meta charset="utf-8"> | | <meta charset="utf-8"> |
| <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> | | <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> |
| <meta http-equiv="content-language" content="ru"> | | <meta http-equiv="content-language" content="ru"> |
| <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> | | <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> |
| <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я."> | | <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я."> |
| <meta property="og:title" content="Решебник Савченко"> | | <meta property="og:title" content="Решебник Савченко"> |
| <meta property="og:image" content="img/logo.png"> | | <meta property="og:image" content="img/logo.png"> |
| <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сборника задач Савенко О.Я."> | | <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сборника задач Савенко О.Я."> |
| <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368"> | | <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368"> |
| <title>Решебник Савченко</title> | | <title>Решебник Савченко</title> |
| <link rel="stylesheet" href="../../css/css-latex/style.css"> | | <link rel="stylesheet" href="../../css/css-latex/style.css"> |
| <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png"> | | <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png"> |
| <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script> | | <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script> |
| <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script> | | <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script> |
| <script type="text/x-mathjax-config"> | | <script type="text/x-mathjax-config"> |
| MathJax.Hub.Config({ | | MathJax.Hub.Config({ |
| extensions: ['tex2jax.js'], | | extensions: ['tex2jax.js'], |
| jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'], | | jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'], |
| tex2jax: { | | tex2jax: { |
| inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']], | | inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']], |
| processEscapes: true, | | processEscapes: true, |
| processClass: 'tex2jax', | | processClass: 'tex2jax', |
| ignoreClass: 'html' | | ignoreClass: 'html' |
| }, | | }, |
| showProcessingMessages: false, | | showProcessingMessages: false, |
| messageStyle: 'none' | | messageStyle: 'none' |
| }) | | }) |
| </script> | | </script> |
| </head> | | </head> |
| <body style=""> | | <body style=""> |
| <header style="text-align:center"> | | <header style="text-align:center"> |
| <a href="../../" style="text-decoration: none;"> | | <a href="../../" style="text-decoration: none;"> |
| <div id="logo"> | | <div id="logo"> |
| <span><img src="../../img/book.png"></span><span>Savchenko Solutions</span> | | <span><img src="../../img/book.png"></span><span>Savchenko Solutions</span> |
| </div> | | </div> |
| </a> | | </a> |
| <p class="author"> | | <p class="author"> |
| Solutions of Savchenko Problems in Physics <br> | | Solutions of Savchenko Problems in Physics <br> |
| <i><b>knowledge must be free</b></i> | | <i><b>knowledge must be free</b></i> |
| </p> | | </p> |
| </header> | | </header> |
| | | |
| <h3 id="back-link"><a href="../../ru#2.2">$\leftarrow$Назад</a></h3> | | <h3 id="back-link"><a href="../../ru#2.2">$\leftarrow$Назад</a></h3> |
| | | |
| <h3> Условие: </h3> | | <h3> Условие: </h3> |
| | | |
| <p> | | <p> |
| $2.2.5^*.$ Ящик с песком массы $M$ лежит на горизонтальной плоскости, коэффициент трения с которой равен $\mu$. Под углом $\alpha$ к вертикали в ящик со скоростью $v$ влетает пуля массы $m$ и почти мгновенно застревает в песке. Через какое время после попадания пули в ящик, он, начав двигаться, остановится? При каком значении $\alpha$ он вообще не сдвинется? | | $2.2.5^*.$ Ящик с песком массы $M$ лежит на горизонтальной плоскости, коэффициент трения с которой равен $\mu$. Под углом $\alpha$ к вертикали в ящик со скоростью $v$ влетает пуля массы $m$ и почти мгновенно застревает в песке. Через какое время после попадания пули в ящик, он, начав двигаться, остановится? При каком значении $\alpha$ он вообще не сдвинется? |
| </p> | | </p> |
| <h3> Решение: </h3> | | <h3> Решение: </h3> |
| <p> | | <p> |
| Пусть время остановки пули равно $dt$, тогда, чтобы остановить, ящик может двигаться только по горизонтали, значит в момент попадания и пули гаситься вертикальная проекция импульса силой реакции опоры (песка) $N_1$, тогда | | Пусть время остановки пули равно $dt$, тогда, чтобы остановить, ящик может двигаться только по горизонтали, значит в момент попадания и пули гаситься вертикальная проекция импульса силой реакции опоры (песка) $N_1$, тогда |
| $$N_1dt = mv\cos\alpha\Rightarrow N_1 = \frac{mv\cos\alpha}{dt}$$ | | $$N_1dt = mv\cos\alpha\Rightarrow N_1 = \frac{mv\cos\alpha}{dt}$$ |
| Распишем силу трения в этот момент: | | Распишем силу трения в этот момент: |
| $$F_{\text{тр}} \leq \mu N = \mu ((M+m)g + N_1) = \mu (M+m)g + \mu\frac{mv\cos\alpha}{dt}$$ | | $$F_{\text{тр}} \leq \mu N = \mu ((M+m)g + N_1) = \mu (M+m)g + \mu\frac{mv\cos\alpha}{dt}$$ |
| Так как $dt$ бесконечно малая величина, то | | Так как $dt$ бесконечно малая величина, то |
| $$N_1 \gg (M+m)g \Rightarrow F_{\text{тр}} \leq \mu\frac{mv\cos\alpha}{dt}$$ | | $$N_1 \gg (M+m)g \Rightarrow F_{\text{тр}} \leq \mu\frac{mv\cos\alpha}{dt}$$ |
| Теперь запишем изменение импульса ящика с песком за $dt$ | | Теперь запишем изменение импульса ящика с песком за $dt$ |
| $$\Delta p = F_{\text{тр}}dt \leq \mu mv \cos\alpha$$ | | $$\Delta p = F_{\text{тр}}dt \leq \mu mv \cos\alpha$$ |
| ($F_{\text{тр}}$ и $\Delta p$ не достегают наибольшего значения только в ситуации, когда ящик продолжает покоиться) | | ($F_{\text{тр}}$ и $\Delta p$ не достегают наибольшего значения только в ситуации, когда ящик продолжает покоиться) |
| В момент соударения ящик с пулей приобретают импульс: | | В момент соударения ящик с пулей приобретают импульс: |
| $$p_1 = mv\sin\alpha$$ | | $$p_1 = mv\sin\alpha$$ |
| (горизонтальная проекция импульса пули) | | (горизонтальная проекция импульса пули) |
| </p> | | </p> |
| <p> | | <p> |
| Для того, чтобы сдвинуть ящик, нужно, чтобы | | Для того, чтобы сдвинуть ящик, нужно, чтобы |
| $$p_1 > \Delta p$$ | | $$p_1 > \Delta p$$ |
| $$mv\sin\alpha > \mu mv\cos\alpha$$ | | $$mv\sin\alpha > \mu mv\cos\alpha$$ |
| таким образом мы получили условие движения ящика $\tan\alpha > \mu$. | | таким образом мы получили условие движения ящика $\tan\alpha > \mu$. |
| После соударения, во время движения ящика, на него будет действовать сила трения | | После соударения, во время движения ящика, на него будет действовать сила трения |
| $$F_{\text{тр}}= \mu (M+m)g$$ | | $$F_{\text{тр}}= \mu (M+m)g$$ |
| Эта сила уменьшает полученный ящиком импульс $p_1 - \Delta p$ , тогда справедливо: | | Эта сила уменьшает полученный ящиком импульс $p_1 - \Delta p$ , тогда справедливо: |
| $$F_{\text{тр}}t = p_1 - \Delta p $$ | | $$F_{\text{тр}}t = p_1 - \Delta p $$ |
| $$ t = \frac{p_1 - \Delta p}{F_{\text{тр}}}$$ | | $$ t = \frac{p_1 - \Delta p}{F_{\text{тр}}}$$ |
| $$ \boxed{t = \frac{mv(\sin\alpha - \mu\cos\alpha )}{\mu (M+m)g}}$$ | | $$ \boxed{t = \frac{mv(\sin\alpha - \mu\cos\alpha )}{\mu (M+m)g}}$$ |
| </p> | | </p> |
| <h3> Ответ: </h3> | | <h3> Ответ: </h3> |
| <p> | | <p> |
| $t = mv(\sin\alpha − \mu\cos\alpha )/[\mu (m + M)g]$ при $\tan\alpha > \mu$ | | $t = mv(\sin\alpha − \mu\cos\alpha )/[\mu (m + M)g]$ при $\tan\alpha > \mu$ |
| </p> | | </p> |
| <p> | | <p> |
| при $\tan\alpha\leq \mu$ ящик не сдвинется | | при $\tan\alpha\leq \mu$ ящик не сдвинется |
