| @@ -1,12 +1,12 @@ |
| ### Условие: |
| ### Условие: |
| |
| |
| $2.3.16.$ Грузик, подвешенный на нити длины $l$, отклонили на расстояние $r$ от точки равновесия и отпустили. Какова его наибольшая скорость? |
| $2.3.16.$ Грузик, подвешенный на нити длины $l$, отклонили на расстояние $r$ от точки равновесия и отпустили. Какова его наибольшая скорость? |
| |
| |
|  |
|  |
| |
| |
| ### Решение: |
| ### Решение: |
| |
| |
|  |
|  |
| |
| |
| Рассмотрим геометрию системы: |
| Рассмотрим геометрию системы: |
| |
| |
| $$BC=AD \cdot (1-\cos 2\alpha )=CD \cdot \sin\alpha$$ | | $$BC=AD \cdot (1-\cos 2\alpha )=CD \cdot \sin\alpha$$ |
| | | |
| $$l \cdot (1-\cos 2\alpha )=r \cdot \sin\alpha$$ | | $$l \cdot (1-\cos 2\alpha )=r \cdot \sin\alpha$$ |
| | | |
| Воспользуемся тригонометрическим преобразованием $(1-\cos 2\alpha =2\sin^2 \alpha):$ | | Воспользуемся тригонометрическим преобразованием $(1-\cos 2\alpha =2\sin^2 \alpha):$ |
| | | |
| $$2l \cdot\sin^2\alpha =r \cdot \sin\alpha$$ | | $$2l \cdot\sin^2\alpha =r \cdot \sin\alpha$$ |
| | | |
| Откуда выражаем значение для половины угла отклонения $\alpha$ | | Откуда выражаем значение для половины угла отклонения $\alpha$ |
| | | |
| $$\sin\alpha =\frac{r}{2l}\quad(a)$$ | | $$\sin\alpha =\frac{r}{2l}\quad(a)$$ |
| | | |
| Из закона сохранения энергии: | | Из закона сохранения энергии: |
| | | |
| $$E=E_\text{кин}+E_{пот}$$ | | $$E=E_\text{кин}+E_{пот}$$ |
| | | |
| $E_\text{кин}$ будет максимальна при минимальной $E_{пот}$ в точке $C$, т.к. потенциальная энергия будет минимальной | | $E_\text{кин}$ будет максимальна при минимальной $E_{пот}$ в точке $C$, т.к. потенциальная энергия будет минимальной |
| | | |
| $$\frac{mv_\text{max}^2}{2}=mgr\,\sin\alpha$$ | | $$\frac{mv_\text{max}^2}{2}=mgr\,\sin\alpha$$ |
| | | |
| Сокращаем на массу грузика $m$ | | Сокращаем на массу грузика $m$ |
| | | |
| $$\frac{v_\text{max}^2}{2}=gr\,\sin\alpha$$ | | $$\frac{v_\text{max}^2}{2}=gr\,\sin\alpha$$ |
| | | |
| Откуда выражаем наибольшую скорость грузика | | Откуда выражаем наибольшую скорость грузика |
| | | |
| $$v_\text{max}=\sqrt{2gr\,\sin\alpha} \quad(b)$$ | | $$v_\text{max}=\sqrt{2gr\,\sin\alpha} \quad(b)$$ |
| | | |
| Подставляем $(a)$ в выражение $(b)$: | | Подставляем $(a)$ в выражение $(b)$: |
| | | |
| $$v_\text{max}=\sqrt{2g\,\frac{r^2}{2l}}=r\sqrt{\frac{g}{l}}$$ | | $$v_\text{max}=\sqrt{2g\,\frac{r^2}{2l}}=r\sqrt{\frac{g}{l}}$$ |
| | | |
| #### Ответ: $v_\text{max}=r\sqrt{\frac{g}{l}}$ | | #### Ответ: $v_\text{max}=r\sqrt{\frac{g}{l}}$ |
