Edit to “Решение”
ru/2.3.16.md
+2 −2
| ### Условие: | |||
| $2.3.16.$ Грузик, подвешенный на нити длины $l$, отклонили на расстояние $r$ от точки равновесия и отпустили. Какова его наибольшая скорость? | |||
|  | |||
| ### Решение: | |||
|  | |||
| Рассмотрим геометрию системы: | |||
| $$BC=AD \cdot (1-\cos 2\alpha )=CD \cdot \sin\alpha$$ | |||
| $$l \cdot (1-\cos 2\alpha )=r \cdot \sin\alpha$$ | |||
| Воспользуемся тригонометрическим преобразованием $(1-\cos 2\alpha =2\sin^2 \alpha):$ | |||
| $$2l \cdot\sin^2\alpha =r \cdot \sin\alpha$$ | |||
| @@ -20,7 +20,7 @@Решение: | |||
| Откуда выражаем значение для половины угла отклонения $\alpha$ | |||
| − | $$\sin\alpha =\frac{r}{2l} | ||
| + | $$\sin\alpha =\frac{r}{2l}\tag{a}$$ | ||
| Из закона сохранения энергии: | |||
| $$E=E_\text{кин}+E_{пот}$$ | |||
| $E_\text{кин}$ будет максимальна при минимальной $E_{пот}$ в точке $C$, т.к. потенциальная энергия будет минимальной | |||
| $$\frac{mv_\text{max}^2}{2}=mgr\,\sin\alpha$$ | |||
| Сокращаем на массу грузика $m$ | |||
| $$\frac{v_\text{max}^2}{2}=gr\,\sin\alpha$$ | |||
| @@ -36,7 +36,7 @@Решение: | |||
| Откуда выражаем наибольшую скорость грузика | |||
| − | $$v_\text{max}=\sqrt{2gr\,\sin\alpha} | ||
| + | $$v_\text{max}=\sqrt{2gr\,\sin\alpha} \tag{b}$$ | ||
| Подставляем угол $\alpha$ из $(a)$ в выражение $(b)$: | |||
| $$v_\text{max}=\sqrt{2g\,\frac{r^2}{2l}}=r\sqrt{\frac{g}{l}}$$ | |||
| #### Ответ: $v_\text{max}=r\sqrt{\frac{g}{l}}$ | |||
| unchanged lines 3 | |||
| ### Условие: | ### Условие: | ||
| $2.3.16.$ Грузик, подвешенный на нити длины $l$, отклонили на расстояние $r$ от точки равновесия и отпустили. Какова его наибольшая скорость? | $2.3.16.$ Грузик, подвешенный на нити длины $l$, отклонили на расстояние $r$ от точки равновесия и отпустили. Какова его наибольшая скорость? | ||
|  |  | ||
| ### Решение: | ### Решение: | ||
|  |  | ||
| Рассмотрим геометрию системы: | Рассмотрим геометрию системы: | ||
| $$BC=AD \cdot (1-\cos 2\alpha )=CD \cdot \sin\alpha$$ | $$BC=AD \cdot (1-\cos 2\alpha )=CD \cdot \sin\alpha$$ | ||
| $$l \cdot (1-\cos 2\alpha )=r \cdot \sin\alpha$$ | $$l \cdot (1-\cos 2\alpha )=r \cdot \sin\alpha$$ | ||
| Воспользуемся тригонометрическим преобразованием $(1-\cos 2\alpha =2\sin^2 \alpha):$ | Воспользуемся тригонометрическим преобразованием $(1-\cos 2\alpha =2\sin^2 \alpha):$ | ||
| $$2l \cdot\sin^2\alpha =r \cdot \sin\alpha$$ | $$2l \cdot\sin^2\alpha =r \cdot \sin\alpha$$ | ||
| @@ -20,7 +20,7 @@Решение: | |||
| Откуда выражаем значение для половины угла отклонения $\alpha$ | Откуда выражаем значение для половины угла отклонения $\alpha$ | ||
| $$\sin\alpha =\frac{r}{2l} |
$$\sin\alpha =\frac{r}{2l}\tag{a}$$ | ||
| Из закона сохранения энергии: | Из закона сохранения энергии: | ||
| $$E=E_\text{кин}+E_{пот}$$ | $$E=E_\text{кин}+E_{пот}$$ | ||
| $E_\text{кин}$ будет максимальна при минимальной $E_{пот}$ в точке $C$, т.к. потенциальная энергия будет минимальной | $E_\text{кин}$ будет максимальна при минимальной $E_{пот}$ в точке $C$, т.к. потенциальная энергия будет минимальной | ||
| $$\frac{mv_\text{max}^2}{2}=mgr\,\sin\alpha$$ | $$\frac{mv_\text{max}^2}{2}=mgr\,\sin\alpha$$ | ||
| Сокращаем на массу грузика $m$ | Сокращаем на массу грузика $m$ | ||
| $$\frac{v_\text{max}^2}{2}=gr\,\sin\alpha$$ | $$\frac{v_\text{max}^2}{2}=gr\,\sin\alpha$$ | ||
| @@ -36,7 +36,7 @@Решение: | |||
| Откуда выражаем наибольшую скорость грузика | Откуда выражаем наибольшую скорость грузика | ||
| $$v_\text{max}=\sqrt{2gr\,\sin\alpha} |
$$v_\text{max}=\sqrt{2gr\,\sin\alpha} \tag{b}$$ | ||
| Подставляем угол $\alpha$ из $(a)$ в выражение $(b)$: | Подставляем угол $\alpha$ из $(a)$ в выражение $(b)$: | ||
| $$v_\text{max}=\sqrt{2g\,\frac{r^2}{2l}}=r\sqrt{\frac{g}{l}}$$ | $$v_\text{max}=\sqrt{2g\,\frac{r^2}{2l}}=r\sqrt{\frac{g}{l}}$$ | ||
| #### Ответ: $v_\text{max}=r\sqrt{\frac{g}{l}}$ | #### Ответ: $v_\text{max}=r\sqrt{\frac{g}{l}}$ | ||
| unchanged lines 3 | |||