| @@ -1,44 +1,46 @@ |
| | | ### Условие |
| | | |
| | − | $2.7.14.$ [Вставьте описание задачи] |
| | + | $2.7.14.$ На тонкостенный цилиндр намотана нить, конец которой закреплен на стойке так, что при соскальзывании цилиндра с наклонной плоскости нить остается параллельной наклонной плоскости. Какую скорость приобрел цилиндр, если его ось прошла расстояние $l$? Угол наклона плоскости $α$, коэффициент трения между плоскостью и цилиндром $µ$. |
| | + |  |
| | | |
| | − | __Пример условия__: |
| | − | $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. |
| | | |
| | − | |
| | | ### Решение |
| | | |
| | − | [Здесь должно быть ваше решение] |
| | | |
| | − | __Пример решения__: |
| | − | Ускорение тела задано как |
| | + | Запишем уравнения моментов сил, законов Ньютона и кинематики: |
| | | |
| | − | $$a(t) = bt$$ |
| | + | 1. $$Iε=TR-μNR$$ |
| | + | 2. $$ma=mgsinα-(T+μN)$$ |
| | + | 3. $$N=mgcosα$$ |
| | + | 4. $$εR=a$$ |
| | + | 5. $$v=\sqrt{2al}$$ |
| | + | Где $I$ - момент инерции цилиндра; |
| | | |
| | − | Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени: |
| | + | $R$ - радиус цилиндра; |
| | | |
| | − | $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ |
| | + | $ε$ - угловое ускорение цилиндра; |
| | | |
| | − | Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: |
| | + | $a$ - линейное ускорение цилиндра; |
| | | |
| | − | $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ |
| | + | $v$ - линейная скорость цилиндра, которую требуют найти; |
| | | |
| | − | Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: |
| | + | $T$ - сила натяжения нити; |
| | | |
| | − | $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ |
| | + | $N$ - сила реакции опоры. |
| | | |
| | − | Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: |
| | − | |
| | − | $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ |
| | − | |
| | − | Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: |
| | − | |
| | − | $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ |
| | − | |
| | + | Момент инерции тонкостенного цилиндра выщитывается по формуле: |
| | + | $$I=mR²$$ |
| | + | Подставим его в уравнение 1: |
| | + | $$mR²ε=R(T-μN)$$ |
| | + | Сократим $R$; |
| | + | $$mRε=T-μN$$ |
| | + | С учётом уравнений 2 и 4 получаем, выражение: |
| | + | $$T-μN=mgsinα-T-μN$$ |
| | + | Выражаем $T$: |
| | + | $$T=\frac{mgsinα}{2}$$ |
| | + | Зная данное выражение и испоьзуя уравнения 2 и 3, выводим линейное ускорение $a$: |
| | + | $$a=\frac{g(sinα-2μcosα)}{2}$$ |
| | + | Подставим это в уравнение 5 и получаем ответ: |
| | + | $$\boxed{v=\sqrt{gl(sinα-2μcosα)}}$$ |
| | | #### Ответ |
| | − | |
| | − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] |
| | − | |
| | − | |
| | − | __Пример ответа__: |
| | − | $$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $$ |
| | + | $$v=\sqrt{gl(sinα-2μcosα)}$$ |
