| @@ -1,100 +1,92 @@ |
| ### Условие |
| ### Условие |
| |
| |
| $2.7.14.$ На тонкостенный цилиндр намотана нить, конец которой закреплен на стойке так, что при соскальзывании цилиндра с наклонной плоскости нить остается параллельной наклонной плоскости. Какую скорость приобрел цилиндр, если его ось прошла расстояние $l$? Угол наклона плоскости $\alpha $, коэффициент трения между плоскостью и цилиндром $µ$. |
| $2.7.14.$ На тонкостенный цилиндр намотана нить, конец которой закреплен на стойке так, что при соскальзывании цилиндра с наклонной плоскости нить остается параллельной наклонной плоскости. Какую скорость приобрел цилиндр, если его ось прошла расстояние $l$? Угол наклона плоскости $\alpha $, коэффициент трения между плоскостью и цилиндром $\mu$. |
|  |
| |
| |
| |
| |
|  |
| |
| |
| ### Решение |
| ### Решение |
| |
| |
| Запишем уравнения моментов сил, законов Ньютона и кинематики: |
| Запишем уравнения моментов сил, законов Ньютона и кинематики: |
| |
| |
| 1. |
| |
| |
| |
| $$ |
| $$ |
| I\varepsilon =TR-\mu NR |
| I\varepsilon =TR-\mu NR\tag{1} |
| $$ |
| $$ |
| |
| |
| 2. |
| |
| |
| |
| $$ |
| $$ |
| ma=mgsin\alpha -(T+\mu N) |
| ma=mg\sin\alpha -(T+\mu N)\tag{2} |
| $$ |
| $$ |
| |
| |
| 3. |
| |
| |
| |
| $$ |
| $$ |
| N=mgcos\alpha |
| N=mg\cos\alpha\tag{3} |
| $$ |
| $$ |
| |
| |
| 4. |
| |
| |
| |
| $$ |
| $$ |
| \varepsilon R=a |
| \varepsilon R=a\tag{4} |
| $$ |
| $$ |
| |
| |
| 5. |
| |
| |
| |
| $$ |
| $$ |
| v=\sqrt{2al} |
| v=\sqrt{2al}\tag{5} |
| $$ |
| $$ |
| |
| |
| Где $I$ - момент инерции цилиндра; |
| Где $I$ — момент инерции цилиндра; |
| |
| |
| $R$ - радиус цилиндра; |
| $R$ — радиус цилиндра; |
| |
| |
| $\varepsilon $ - угловое ускорение цилиндра; |
| $\varepsilon $ — угловое ускорение цилиндра; |
| |
| |
| $a$ - линейное ускорение цилиндра; |
| $a$ — линейное ускорение цилиндра; |
| |
| |
| $v$ - линейная скорость цилиндра, которую требуют найти; |
| $v$ — линейная скорость цилиндра, которую требуют найти; |
| |
| |
| $T$ - сила натяжения нити; |
| $T$ — сила натяжения нити; |
| |
| |
| $N$ - сила реакции опоры. |
| $N$ — сила реакции опоры. |
| |
| |
| Момент инерции тонкостенного цилиндра выщитывается по формуле: |
| Момент инерции тонкостенного цилиндра выщитывается по формуле: |
| |
| |
| $$ |
| $$ |
| I=mR^2 |
| I=mR^2\tag{6} |
| $$ |
| $$ |
| |
| |
| Подставим его в уравнение 1: |
| Подставим его в уравнение 1: |
| |
| |
| $$ |
| $$ |
| mR^2\varepsilon =R(T-\mu N) |
| mR^2\varepsilon =R(T-\mu N)\tag{7} |
| $$ |
| $$ |
| |
| |
| Сократим $R$; |
| Сократим $R$; |
| |
| |
| $$ |
| $$ |
| mR\varepsilon =T-\mu N |
| mR\varepsilon =T-\mu N\tag{8} |
| $$ |
| $$ |
| |
| |
| С учётом уравнений 2 и 4 получаем, выражение: |
| С учётом уравнений 2 и 4 получаем, выражение: |
| |
| |
| $$ |
| $$ |
| T-\mu N=mgsin\alpha -T-\mu N |
| T-\mu N=mg\sin\alpha -T-\mu N\tag{9} |
| $$ |
| $$ |
| |
| |
| Выражаем $T$: |
| Выражаем $T$: |
| |
| |
| $$ |
| $$ |
| T=\frac{mgsin\alpha }{2} |
| T=\frac{mg\sin\alpha }{2}\tag{10} |
| $$ |
| $$ |
| |
| |
| Зная данное выражение и испоьзуя уравнения 2 и 3, выводим линейное ускорение $a$: |
| Зная данное выражение и испоьзуя уравнения 2 и 3, выводим линейное ускорение $a$: |
| |
| |
| $$ |
| $$ |
| a=\frac{g(sin\alpha -2\mu cos\alpha )}{2} |
| a=\frac{g(\sin\alpha -2\mu \cos\alpha )}{2}\tag{11} |
| $$ |
| $$ |
| |
| |
| Подставим это в уравнение 5 и получаем ответ: |
| Подставим это в уравнение 5 и получаем ответ: |
| |
| |
| $$ |
| $$ |
| \boxed{v=\sqrt{gl(sin\alpha -2\mu cos\alpha )}} |
| \boxed{v=\sqrt{gl(\sin\alpha -2\mu \cos\alpha )}}\tag{12} |
| $$ |
| $$ |
| |
| |
| #### Ответ |
| #### Ответ |
| |
| |
| $$ |
| $$ |
| v=\sqrt{gl(sin\alpha -2\mu cos\alpha )} |
| v=\sqrt{gl(\sin\alpha -2\mu \cos\alpha )} |
| $$ |
| $$ |
