| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $2.7.14.$ На тонкостенный цилиндр намотана нить, конец которой закреплен на стойке так, что при соскальзывании цилиндра с наклонной плоскости нить остается параллельной наклонной плоскости. Какую скорость приобрел цилиндр, если его ось прошла расстояние $l$? Угол наклона плоскости $α$, коэффициент трения между плоскостью и цилиндром $µ$. | | $2.7.14.$ На тонкостенный цилиндр намотана нить, конец которой закреплен на стойке так, что при соскальзывании цилиндра с наклонной плоскости нить остается параллельной наклонной плоскости. Какую скорость приобрел цилиндр, если его ось прошла расстояние $l$? Угол наклона плоскости $α$, коэффициент трения между плоскостью и цилиндром $µ$. |
|  | |  |
| | | |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
| | | |
| Запишем уравнения моментов сил, законов Ньютона и кинематики: | | Запишем уравнения моментов сил, законов Ньютона и кинематики: |
| | | |
| 1. $$Iε=TR-μNR$$ | | 1. $$Iε=TR-μNR$$ |
| 2. $$ma=mgsinα-(T+μN)$$ | | 2. $$ma=mgsinα-(T+μN)$$ |
| | | |
| $ε$ - угловое ускорение цилиндра; | | $ε$ - угловое ускорение цилиндра; |
| | | |
| $a$ - линейное ускорение цилиндра; | | $a$ - линейное ускорение цилиндра; |
| | | |
| $v$ - линейная скорость цилиндра, которую требуют найти; | | $v$ - линейная скорость цилиндра, которую требуют найти; |
| | | |
| $T$ - сила натяжения нити; | | $T$ - сила натяжения нити; |
| | | |
| $N$ - сила реакции опоры. | | $N$ - сила реакции опоры. |
| | | |
| Момент инерции тонкостенного цилиндра выщитывается по формуле: | | Момент инерции тонкостенного цилиндра выщитывается по формуле: |
| $$I=mR²$$ | | $$I=mR²$$ |
| Подставим его в уравнение 1: | | Подставим его в уравнение 1: |
| $$mR²ε=R(T-μN)$$ | | $$mR²ε=R(T-μN)$$ |
| Сократим $R$; | | Сократим $R$; |
| $$mRε=T-μN$$ | | $$mRε=T-μN$$ |
| С учётом уравнений 2 и 4 получаем, выражение: | | С учётом уравнений 2 и 4 получаем, выражение: |
| $$T-μN=mgsinα-T-μN$$ | | $$T-μN=mgsinα-T-μN$$ |
| Выражаем $T$: | | Выражаем $T$: |
| $$T=\frac{mgsinα}{2}$$ | | $$T=\frac{mgsinα}{2}$$ |
| Зная данное выражение и испоьзуя уравнения 2 и 3, выводим линейное ускорение $a$: | | Зная данное выражение и испоьзуя уравнения 2 и 3, выводим линейное ускорение $a$: |
| $$a=\frac{g(sinα-2μcosα)}{2}$$ | | $$a=\frac{g(sinα-2μcosα)}{2}$$ |
| Подставим это в уравнение 5 и получаем ответ: | | Подставим это в уравнение 5 и получаем ответ: |
| $$\boxed{v=\sqrt{gl(sinα-2μcosα)}}$$ | | $$\boxed{v=\sqrt{gl(sinα-2μcosα)}}$$ |
| #### Ответ | | #### Ответ |
| $$v=\sqrt{gl(sinα-2μcosα)}$$ | | $$v=\sqrt{gl(sinα-2μcosα)}$$ |
