Edit to “Решение”
ru/2.7.14.md
+4 −4
| ### Условие | |||
| $2.7.14.$ На тонкостенный цилиндр намотана нить, конец которой закреплен на стойке так, что при соскальзывании цилиндра с наклонной плоскости нить остается параллельной наклонной плоскости. Какую скорость приобрел цилиндр, если его ось прошла расстояние $l$? Угол наклона плоскости $\alpha $, коэффициент трения между плоскостью и цилиндром $\mu$. | |||
|  | |||
| ### Решение | |||
| Запишем уравнения моментов сил, законов Ньютона и кинематики: | |||
| $$ | |||
| I\varepsilon =TR-\mu NR\tag{1} | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| ma=mg\sin\alpha -(T+\mu N)\tag{2} | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| N=mg\cos\alpha\tag{3} | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| \varepsilon R=a\tag{4} | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| v=\sqrt{2al}\tag{5} | |||
| $$ | |||
| Где $I$ — момент инерции цилиндра; | |||
| $R$ — радиус цилиндра; | |||
| $\varepsilon $ — угловое ускорение цилиндра; | |||
| $a$ — линейное ускорение цилиндра; | |||
| $v$ — линейная скорость цилиндра, которую требуют найти; | |||
| $T$ — сила натяжения нити; | |||
| $N$ — сила реакции опоры. | |||
| Момент инерции тонкостенного цилиндра выщитывается по формуле: | |||
| $$ | |||
| @@ -49,7 +49,7 @@Решение | |||
| I=mR^2\tag{6} | |||
| $$ | |||
| − | Подставим его в уравнение | ||
| + | Подставим его в уравнение $(1)$: | ||
| $$ | |||
| mR^2\varepsilon =R(T-\mu N)\tag{7} | |||
| $$ | |||
| Сократим $R$; | |||
| $$ | |||
| @@ -61,7 +61,7 @@Решение | |||
| mR\varepsilon =T-\mu N\tag{8} | |||
| $$ | |||
| − | С учётом уравнений | ||
| + | С учётом уравнений $(2)$ и $(4)$ получаем, выражение: | ||
| $$ | |||
| T-\mu N=mg\sin\alpha -T-\mu N\tag{9} | |||
| $$ | |||
| Выражаем $T$: | |||
| $$ | |||
| @@ -73,13 +73,13 @@Решение | |||
| T=\frac{mg\sin\alpha }{2}\tag{10} | |||
| $$ | |||
| − | Зная данное выражение и испоьзуя уравнения | ||
| + | Зная данное выражение и испоьзуя уравнения $(2)$ и $(3)$, выводим линейное ускорение $a$: | ||
| $$ | |||
| a=\frac{g(\sin\alpha -2\mu \cos\alpha )}{2}\tag{11} | |||
| $$ | |||
| − | Подставим это в уравнение | ||
| + | Подставим это в уравнение $(5)$ и получаем ответ: | ||
| $$ | |||
| \boxed{v=\sqrt{gl(\sin\alpha -2\mu \cos\alpha )}}\tag{12} | |||
| $$ | |||
| #### Ответ | |||
| $$ | |||
| v=\sqrt{gl(\sin\alpha -2\mu \cos\alpha )} | |||
| $$ | |||
| unchanged lines 7 | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $2.7.14.$ На тонкостенный цилиндр намотана нить, конец которой закреплен на стойке так, что при соскальзывании цилиндра с наклонной плоскости нить остается параллельной наклонной плоскости. Какую скорость приобрел цилиндр, если его ось прошла расстояние $l$? Угол наклона плоскости $\alpha $, коэффициент трения между плоскостью и цилиндром $\mu$. | $2.7.14.$ На тонкостенный цилиндр намотана нить, конец которой закреплен на стойке так, что при соскальзывании цилиндра с наклонной плоскости нить остается параллельной наклонной плоскости. Какую скорость приобрел цилиндр, если его ось прошла расстояние $l$? Угол наклона плоскости $\alpha $, коэффициент трения между плоскостью и цилиндром $\mu$. | ||
|  |  | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| Запишем уравнения моментов сил, законов Ньютона и кинематики: | Запишем уравнения моментов сил, законов Ньютона и кинематики: | ||
| $$ | $$ | ||
| I\varepsilon =TR-\mu NR\tag{1} | I\varepsilon =TR-\mu NR\tag{1} | ||
| $$ | $$ | ||
| $$ | $$ | ||
| ma=mg\sin\alpha -(T+\mu N)\tag{2} | ma=mg\sin\alpha -(T+\mu N)\tag{2} | ||
| $$ | $$ | ||
| $$ | $$ | ||
| N=mg\cos\alpha\tag{3} | N=mg\cos\alpha\tag{3} | ||
| $$ | $$ | ||
| $$ | $$ | ||
| \varepsilon R=a\tag{4} | \varepsilon R=a\tag{4} | ||
| $$ | $$ | ||
| $$ | $$ | ||
| v=\sqrt{2al}\tag{5} | v=\sqrt{2al}\tag{5} | ||
| $$ | $$ | ||
| Где $I$ — момент инерции цилиндра; | Где $I$ — момент инерции цилиндра; | ||
| $R$ — радиус цилиндра; | $R$ — радиус цилиндра; | ||
| $\varepsilon $ — угловое ускорение цилиндра; | $\varepsilon $ — угловое ускорение цилиндра; | ||
| $a$ — линейное ускорение цилиндра; | $a$ — линейное ускорение цилиндра; | ||
| $v$ — линейная скорость цилиндра, которую требуют найти; | $v$ — линейная скорость цилиндра, которую требуют найти; | ||
| $T$ — сила натяжения нити; | $T$ — сила натяжения нити; | ||
| $N$ — сила реакции опоры. | $N$ — сила реакции опоры. | ||
| Момент инерции тонкостенного цилиндра выщитывается по формуле: | Момент инерции тонкостенного цилиндра выщитывается по формуле: | ||
| $$ | $$ | ||
| @@ -49,7 +49,7 @@Решение | |||
| I=mR^2\tag{6} | I=mR^2\tag{6} | ||
| $$ | $$ | ||
| Подставим его в уравнение |
Подставим его в уравнение $(1)$: | ||
| $$ | $$ | ||
| mR^2\varepsilon =R(T-\mu N)\tag{7} | mR^2\varepsilon =R(T-\mu N)\tag{7} | ||
| $$ | $$ | ||
| Сократим $R$; | Сократим $R$; | ||
| $$ | $$ | ||
| @@ -61,7 +61,7 @@Решение | |||
| mR\varepsilon =T-\mu N\tag{8} | mR\varepsilon =T-\mu N\tag{8} | ||
| $$ | $$ | ||
| С учётом уравнений |
С учётом уравнений $(2)$ и $(4)$ получаем, выражение: | ||
| $$ | $$ | ||
| T-\mu N=mg\sin\alpha -T-\mu N\tag{9} | T-\mu N=mg\sin\alpha -T-\mu N\tag{9} | ||
| $$ | $$ | ||
| Выражаем $T$: | Выражаем $T$: | ||
| $$ | $$ | ||
| @@ -73,13 +73,13 @@Решение | |||
| T=\frac{mg\sin\alpha }{2}\tag{10} | T=\frac{mg\sin\alpha }{2}\tag{10} | ||
| $$ | $$ | ||
| Зная данное выражение и испоьзуя уравнения |
Зная данное выражение и испоьзуя уравнения $(2)$ и $(3)$, выводим линейное ускорение $a$: | ||
| $$ | $$ | ||
| a=\frac{g(\sin\alpha -2\mu \cos\alpha )}{2}\tag{11} | a=\frac{g(\sin\alpha -2\mu \cos\alpha )}{2}\tag{11} | ||
| $$ | $$ | ||
| Подставим это в уравнение |
Подставим это в уравнение $(5)$ и получаем ответ: | ||
| $$ | $$ | ||
| \boxed{v=\sqrt{gl(\sin\alpha -2\mu \cos\alpha )}}\tag{12} | \boxed{v=\sqrt{gl(\sin\alpha -2\mu \cos\alpha )}}\tag{12} | ||
| $$ | $$ | ||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$ | $$ | ||
| v=\sqrt{gl(\sin\alpha -2\mu \cos\alpha )} | v=\sqrt{gl(\sin\alpha -2\mu \cos\alpha )} | ||
| $$ | $$ | ||
| unchanged lines 7 | |||