Edit to “Условие”

Anonymous edited Jan 6, 2025, 10:31 PM

View solution History

revision #12654 parent #12360 ← older newer →

ru/2.2.24.md +1 −1

		@@ -1,6 +1,6 @@
			### Условие:

		−	~~$2.2.24^*.$ Два тела массы $m_1$ и $m_2$ связаны натянутой нитью длины $\ell$ и движу~~тся по гладкой горизонтальной поверхности. В некоторый момент времени оказалось, что первое тело неподвижно, а скорость второго тела, равная $v$, перпендикулярна нити. Определите силу натяжения нити.
		+	Два тела, имеющие массу m₁ и m₂ , находятся на гладкой горизонтальной поверхности. Тело m₁ движется с начальной скоростью v₀ и сталкивается с телом m₂ , которое покоится. После столкновения тела движутся вместе. Определите скорость двух тел после столкновения.

			### Решение:

			![Силы действующие на систему\|1898x694, 40%](../../img/2.2.24/Picture1.svg)

			Рассмотрим эту систему как различные тела. Используя второй закон Ньютона, получаем:

			$$
			\begin{cases} \vec{F}_1 = m_1 \vec{a}_1 \\\ \vec{F}_2 = m_2 \vec{a}_2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \vec{a}_1 = \frac{\vec{F}_1}{m_1} \\\ \vec{a}_2 = \frac{\vec{F}_2}{m_2} \end{cases} \tag{1}
			$$

			Вычтем $\vec{a}_2$ из $\vec{a}_1$:

			$$
			\vec{a}_1 - \vec{a}_2 = \frac{\vec{F}_1}{m_1} - \frac{\vec{F}_2}{m_2} \tag{2}
			$$

			![ Вычитание векторов \|1180x1350, 30%](../../img/2.2.24/Picture5.svg)

			Как мы видим, это похоже на производную от относительной скорости:

			$$
			\vec{v}_{B/A} = \vec{v}_B - \vec{v}_A \tag{3}
			$$

			Находим производную:

			$$
			\frac{d(\vec{v}_{B/A})}{dt} = \frac{d(\vec{v}_B)}{dt} - \frac{d(\vec{v}_A)}{dt} \Rightarrow \vec{a}_{B/A} = \vec{a}_B - \vec{a}_A \tag{4}
			$$

			Вот почему мы можем сказать, что:

			$$
			\vec{a}_1 - \vec{a}_2 = \vec{a}_{12} = \frac{\vec{F}_1}{m_1} - \frac{\vec{F}_2}{m_2} \tag{5}
			$$

			Благодаря невесомости нити и третьему закону Ньютона

			$$
			\vec{F}_1 = -\vec{F}_2 = \vec{F}
			$$

			В конечном счете:

			$$
			\vec{a}_{12} = \vec{F} \left( \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} \right) = \vec{F} \frac{m_1 + m_2}{m_1 m_2} \tag{6}
			$$

			$a_{12} = \frac{v^2}{\ell}$, где $\ell$ — длина нити, а $v$ — относительная скорость.

			$$
			F = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} \frac{v^2}{\ell} \tag{7}
			$$

			#### Ответ:

			$$
			F = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} \frac{v^2}{\ell}
			$$
		unchanged lines 57

	@@ -1,6 +1,6 @@
	### Условие:		### Условие:

	~~$2.2.24^*.$ Два тела массы $m_1$ и $m_2$ связаны натянутой нитью длины $\ell$ и движу~~тся по гладкой горизонтальной поверхности. В некоторый момент времени оказалось, что первое тело неподвижно, а скорость второго тела, равная $v$, перпендикулярна нити. Определите силу натяжения нити.		Два тела, имеющие массу m₁ и m₂ , находятся на гладкой горизонтальной поверхности. Тело m₁ движется с начальной скоростью v₀ и сталкивается с телом m₂ , которое покоится. После столкновения тела движутся вместе. Определите скорость двух тел после столкновения.

	### Решение:		### Решение:

	![Силы действующие на систему\|1898x694, 40%](../../img/2.2.24/Picture1.svg)		![Силы действующие на систему\|1898x694, 40%](../../img/2.2.24/Picture1.svg)

	Рассмотрим эту систему как различные тела. Используя второй закон Ньютона, получаем:		Рассмотрим эту систему как различные тела. Используя второй закон Ньютона, получаем:

	$$		$$
	\begin{cases} \vec{F}_1 = m_1 \vec{a}_1 \\\ \vec{F}_2 = m_2 \vec{a}_2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \vec{a}_1 = \frac{\vec{F}_1}{m_1} \\\ \vec{a}_2 = \frac{\vec{F}_2}{m_2} \end{cases} \tag{1}		\begin{cases} \vec{F}_1 = m_1 \vec{a}_1 \\\ \vec{F}_2 = m_2 \vec{a}_2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \vec{a}_1 = \frac{\vec{F}_1}{m_1} \\\ \vec{a}_2 = \frac{\vec{F}_2}{m_2} \end{cases} \tag{1}
	$$		$$

	Вычтем $\vec{a}_2$ из $\vec{a}_1$:		Вычтем $\vec{a}_2$ из $\vec{a}_1$:

	$$		$$
	\vec{a}_1 - \vec{a}_2 = \frac{\vec{F}_1}{m_1} - \frac{\vec{F}_2}{m_2} \tag{2}		\vec{a}_1 - \vec{a}_2 = \frac{\vec{F}_1}{m_1} - \frac{\vec{F}_2}{m_2} \tag{2}
	$$		$$

	![ Вычитание векторов \|1180x1350, 30%](../../img/2.2.24/Picture5.svg)		![ Вычитание векторов \|1180x1350, 30%](../../img/2.2.24/Picture5.svg)

	Как мы видим, это похоже на производную от относительной скорости:		Как мы видим, это похоже на производную от относительной скорости:

	$$		$$
	\vec{v}_{B/A} = \vec{v}_B - \vec{v}_A \tag{3}		\vec{v}_{B/A} = \vec{v}_B - \vec{v}_A \tag{3}
	$$		$$

	Находим производную:		Находим производную:

	$$		$$
	\frac{d(\vec{v}_{B/A})}{dt} = \frac{d(\vec{v}_B)}{dt} - \frac{d(\vec{v}_A)}{dt} \Rightarrow \vec{a}_{B/A} = \vec{a}_B - \vec{a}_A \tag{4}		\frac{d(\vec{v}_{B/A})}{dt} = \frac{d(\vec{v}_B)}{dt} - \frac{d(\vec{v}_A)}{dt} \Rightarrow \vec{a}_{B/A} = \vec{a}_B - \vec{a}_A \tag{4}
	$$		$$

	Вот почему мы можем сказать, что:		Вот почему мы можем сказать, что:

	$$		$$
	\vec{a}_1 - \vec{a}_2 = \vec{a}_{12} = \frac{\vec{F}_1}{m_1} - \frac{\vec{F}_2}{m_2} \tag{5}		\vec{a}_1 - \vec{a}_2 = \vec{a}_{12} = \frac{\vec{F}_1}{m_1} - \frac{\vec{F}_2}{m_2} \tag{5}
	$$		$$

	Благодаря невесомости нити и третьему закону Ньютона		Благодаря невесомости нити и третьему закону Ньютона

	$$		$$
	\vec{F}_1 = -\vec{F}_2 = \vec{F}		\vec{F}_1 = -\vec{F}_2 = \vec{F}
	$$		$$

	В конечном счете:		В конечном счете:

	$$		$$
	\vec{a}_{12} = \vec{F} \left( \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} \right) = \vec{F} \frac{m_1 + m_2}{m_1 m_2} \tag{6}		\vec{a}_{12} = \vec{F} \left( \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} \right) = \vec{F} \frac{m_1 + m_2}{m_1 m_2} \tag{6}
	$$		$$

	$a_{12} = \frac{v^2}{\ell}$, где $\ell$ — длина нити, а $v$ — относительная скорость.		$a_{12} = \frac{v^2}{\ell}$, где $\ell$ — длина нити, а $v$ — относительная скорость.

	$$		$$
	F = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} \frac{v^2}{\ell} \tag{7}		F = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} \frac{v^2}{\ell} \tag{7}
	$$		$$

	#### Ответ:		#### Ответ:

	$$		$$
	F = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} \frac{v^2}{\ell}		F = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} \frac{v^2}{\ell}
	$$		$$
	unchanged lines 57