| @@ -1,52 +1,63 @@ |
| | | ### Условие |
| | | |
| | − | $2.5.27.$ Нейтрон с энергией $250\text{ кэВ}$ налетает на ядро $^{6}Li$. При этом образуется возбужденное ядро $^{7}Li$. Найдите кинетическую энергию образовавшегося ядра. |
| | + | $2.5.27.$ Нейтрон с энергией $250\,\text{кэВ}$ налетает на ядро ${}^{6}\text{Li}$. При этом образуется возбужденное ядро ${}^{7}\text{Li}$. Найдите кинетическую энергию образовавшегося ядра. |
| | | |
| | − | |
| | | ### Решение |
| | | |
| | − | Сначала оценим можем ли мы решать задачу с позиций классической механики или необходимо применять релятивискую механику. Для этого сравним кинетическую энергию нейтрона ($K_{n}$) с его энергией покоя ($E_{n}=m_{n}c^{2}$). Если $K_{n}\ll E_{n}$, то можно применять классическую механику. Энергия покоя нейтрона $E_{n}=938000 \text{ кэВ}$, итак $250 \ll 938000 $ - область классической механики. |
| | + | Сначала определим, можно ли решать задачу в рамках классической механики, сравнив кинетическую энергию нейтрона $K_n$ с его энергией покоя $E_n = m_nc^2$. Поскольку |
| | | |
| | − | Считаем нашу систему замкнутой и изолированой. В ней действуют законы сохранения массы, импульса и энергии. Согласно закону сохранения массы: |
| | + | $$ |
| | + | K_n = 250\,\text{кэВ} \ll E_n = 938\,000\,\text{кэВ}, |
| | + | $$ |
| | | |
| | − | $$m_{n}+M_{^{6}Li}=M_{^{7}Li}$$ |
| | + | можно использовать законы классической механики. |
| | | |
| | − | Закон сохранения импульса: |
| | + | Система изолирована, поэтому применим законы сохранения массы, импульса и энергии. Сначала — закон сохранения массы: |
| | | |
| | − | $$m_{n}\upsilon_{n}=M_{^{7}Li}u_{^{7}Li}$$ |
| | + | $$ |
| | + | m_n + M_{{}^{6}\text{Li}} = M_{{}^{7}\text{Li}}. |
| | + | $$ |
| | | |
| | − | где $u_{^{7}Li}$ - скорость возбужденного ядра $^{7}Li$. Выразим её: |
| | + | Закон сохранения импульса: |
| | | |
| | − | $$u_{^{7}Li}=\frac{m_{n}\upsilon_{n}}{M_{^{7}Li}}$$ |
| | + | $$ |
| | + | m_n v_n = M_{{}^{7}\text{Li}}\, u_{{}^{7}\text{Li}}, |
| | + | $$ |
| | | |
| | − | Кинетическая энергия образовавшегося ядра по определению: |
| | + | где $u_{{}^{7}\text{Li}}$ — скорость возбужденного ядра ${}^{7}\text{Li}$. Тогда |
| | | |
| | − | $$K=\frac{1}{2}M_{^{7}Li}u_{^{7}Li}^{2}$$ |
| | + | $$ |
| | + | u_{{}^{7}\text{Li}} = \frac{m_n v_n}{M_{{}^{7}\text{Li}}}. |
| | + | $$ |
| | | |
| | − | Подставим выражение для $u_{^{7}Li}$: |
| | + | Кинетическая энергия возбужденного ядра: |
| | | |
| | − | $$K=\frac{1}{2}M_{^{7}Li}\frac{m_{n}^{2}\upsilon_{n}^{2}}{M_{^{7}Li}^{2}}=\frac{1}{2}\frac{m_{n}^{2}\upsilon_{n}^{2}}{M_{^{7}Li}}$$ |
| | + | $$ |
| | + | K = \frac{1}{2} M_{{}^{7}\text{Li}} u_{{}^{7}\text{Li}}^2 = \frac{1}{2} M_{{}^{7}\text{Li}} \left( \frac{m_n v_n}{M_{{}^{7}\text{Li}}} \right)^2 = \frac{1}{2} \frac{m_n^2 v_n^2}{M_{{}^{7}\text{Li}}}. |
| | + | $$ |
| | | |
| | − | Но кинетическая энергия нейтрона: |
| | + | Поскольку $K_n = \frac{1}{2} m_n v_n^2$, получаем: |
| | | |
| | − | $$K_{n}=\frac{1}{2}m_{n}\upsilon_{n}^{2}$$ |
| | + | $$ |
| | + | K = \frac{m_n}{M_{{}^{7}\text{Li}}} K_n. |
| | + | $$ |
| | | |
| | − | Тогда: |
| | + | С учетом закона сохранения массы: |
| | | |
| | − | $$K=\frac{m_{n}}{M_{^{7}Li}}K_{n}$$ |
| | + | $$ |
| | + | K = \frac{m_n}{m_n + M_{{}^{6}\text{Li}}} K_n. |
| | + | $$ |
| | | |
| | − | или с учётом закона сохранения массы: |
| | + | Принимая $m_n \approx 1$, $M_{{}^{6}\text{Li}} \approx 6$ (в а.е.м.), находим: |
| | | |
| | − | $$K=\frac{m_{n}}{m_{n}+M_{^{6}Li}}K_{n}$$ |
| | + | $$ |
| | + | K = \frac{1}{1 + 6} K_n = \frac{1}{7} \cdot 250 = 35{,}7\,\text{кэВ}. |
| | + | $$ |
| | | |
| | − | Массы нейтрона и ядра лития возьмём в а.е.м. $m_{n}\approx 1$, $M_{^{6}Li} \approx 6$, тогда получим: |
| | + | __Замечание.__ Мы не использовали закон сохранения энергии, поскольку неизвестно, сколько энергии ушло на возбуждение ядра ${}^{7}\text{Li}$. |
| | | |
| | − | $$K=\frac{1}{7}K_{n}$$ |
| | − | |
| | − | Подставляя числовое значение, получим: $K=35,7$ кэВ. |
| | − | |
| | − | Отмечу, что мы не использовали закон сохранения энергии, поскольку неизвестно сколько энергии пошло на возбуждение ядра $^{7}Li$. |
| | − | |
| | | #### Ответ |
| | | |
| | − | $K=35,7 \text{ кэВ}$ |
| | + | $$ |
| | + | K = 35{,}7\,\text{кэВ} |
| | + | $$ |
