Edit to “Решение”

Yarocrafter edited
View solution History
revision #15445 parent #12575 ← older newer →
ru/1.2.11.md +28 −7
@@ -36,26 +36,47 @@Решение:
v = {\pi v_0^3 t^2 \cdot \tan^2(\alpha )}/s
$$
−$б)$ За малый промежуток времени $dt$ объем изменяется на $dV = q dt$
+$б)$ Так как пятно представляет собой циллиндр высотой $h$:
+$$
+V(t) = \pi R^2(t)h
+$$
+С другой стороны, поскольку в начальный момент времени радиус, а следовательно и объём, равнялся нулю, то:
+$$
+V(t) = qt
+$$
+Приравнивая выражения получаем:
+$$
+\pi R^2(t)h = qt
+$$
−Также приращение объема можно расписать как
+$$
+R^2(t) = \frac{qt}{\pi h}
+$$
$$
−dV = 2\pi r dr \cdot h
+R(t) = \sqrt{\frac{qt}{\pi h}}
$$
−Таким образом:
+Зависимость скорости движения границы пятна $v(t)$ есть производная зависимости радиуса пятна от времени $R(t)$:
$$
−q dt = 2\pi r dr \cdot h
+v(t) = R'(t)
$$
−Учитывая $v = \frac{dr}{dt}$,
+$$
+v(t) = \frac{1}{2\sqrt{\frac{qt}{\pi h}}}\cdot\frac{q}{\pi h}
+$$
$$
−\fbox{$v = \frac{q}{2\pi r h}$}
+v(t) = \frac{1}{2}\frac{\sqrt{\pi h}}{\sqrt{q}\cdot\sqrt{t}}\cdot\frac{(\sqrt{q})^2}{(\sqrt{\pi h})^2}
+$$
+
+Сократив соответсвующие корни, получаем:
+
+$$
+\boxed{v(t) = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{q}{\pi ht}}}
$$
#### Ответ:
а. $v=\frac{\pi v_0^3t^2\operatorname{tg}^2\alpha}{s}$; б. $v=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{q}{\pi ht}}$