Edits to “Решение”, “Альтернативное решение (пункт а)”

Yarocrafter edited
View solution History
revision #15448 parent #15446 ← older newer →
ru/1.2.11.md +82 −0
@@ -77,6 +77,88 @@Решение:
\boxed{v(t) = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{q}{\pi ht}}}
$$
+
+### Альтернативное решение (пункт а):
+
+Пусть $V$ - объём воды в сосуде в данный момент времени. Тогда:
+$$
+V(t) = \frac{1}{3}\pi R^2(t) h(t) \tag{1}
+$$
+
+Поскольку уровень воды поднимается с постоянной скоростью $v$:
+$$
+h(t) = v_0t
+$$
+
+В прямоугольном треугольнике, гипотенуза которого - образующая конуса, а катеты - высота $h(t)$ и радиус $R(t)$ соответственно:
+$$
+\operatorname{tg}\alpha = \frac{R(t)}{h(t)}
+$$
+
+$$
+R(t) = h(t)\cdot \operatorname{tg}\alpha = v_0t\cdot \operatorname{tg}\alpha
+$$
+
+Подставив занчение $R(t)$ и $v(t)$ в $(1)$ получаем:
+$$
+V(t) = \frac{1}{3}\pi v_0^3t^3\operatorname{tg}^2\alpha \tag{2}
+$$
+
+Пусть за небольшой промежуток времени $\Delta t$ объём изменился на величину $\Delta V$. Тогда скорость поступления воды через трубку на протяжении данного промежутка времени $v(t)$ можно считать постоянной:
+$$
+\Delta V = v(t)\Delta t S \tag{3}
+$$
+
+С другой стороны, из формулы $(2)$ следует:
+$$
+\Delta V = V(t+\Delta t) - V(t)
+$$
+$$
+\Delta V = \frac{1}{3}\pi v_0^3\operatorname{tg}^2\alpha[(t+\Delta t)^3-t^3] \tag{4}
+$$
+
+Выражение в скобках:
+$$
+(t+\Delta t)^3-t^3 =
+$$
+$$
+= (t + \Delta t - t)((t+\Delta t)^2 + t(t+\Delta t)+t^2)
+$$
+$$
+ = \Delta t(t^2+2t\Delta t+\Delta t^2+t^2+t\Delta t+t^2) =
+$$
+$$
+= \Delta t(3t^2+3t\Delta t+\Delta t^2)
+$$
+
+Величиной $\Delta t^2$ по сравнению с другими можно пренебречь:
+$$
+\Delta t(3t^3+3t\Delta t) = \Delta t \cdot 3t(t^2+\Delta t)
+$$
+Величиной $\Delta t$ по сравнению с $t^2$ можно пренебречь:
+$$
+3\Delta t\cdot t\cdot t^2=3t^3\Delta t
+$$
+
+Возвращаясь к выражению $(4)$:
+
+$$
+\Delta V = \frac{1}{3}\pi v_0^3\operatorname{tg}^2\alpha \cdot 3t^2\Delta t
+$$
+$$
+\Delta V = \pi v_0^3t^2\operatorname{tg}^2\alpha\Delta t
+$$
+
+Приравняв полученное к выражению $(3)$:
+$$
+v(t)\Delta t S = \pi v_0^3t^2\operatorname{tg}^2\alpha\Delta t
+$$
+
+Наконец, разделив левую и правую часть на $\Delta t \cdot S$, получаем:
+$$
+\boxed{v(t) = \frac{\pi v_0^3t^2\operatorname{tg}^2\alpha}{s}}
+$$
+
#### Ответ:
а. $v=\frac{\pi v_0^3t^2\operatorname{tg}^2\alpha}{s}$; б. $v=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{q}{\pi ht}}$