Updated 2.1.45 solution

astrosander edited
revision #1683 parent #1311 GitHub 68721fd ← older newer →
@@ -1,260 +1,175 @@
−<html>
− <head>
− <title>Решебник Савченко</title>
− <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник">
− <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я.">
− <meta http-equiv="content-language" content="ru">
− <meta charset="utf-8">
− <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
− <meta property="og:title" content="Решебник Савченко" />
− <meta property="og:image" content="img/logo.png">
− <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сбоника задач Савенко О.Я.">
− <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368" />
− <link rel="stylesheet" type="text/css" href="../../css/bootstrap.css">
− <link rel="stylesheet" media="screen and (max-width: 769px)" type="text/css" href="../../css/StyleMobile.css">
− <link rel="stylesheet" media="screen and (min-width: 769px)" type="text/css" href="../../css/style.css">
− <link rel="stylesheet" type="text/css" href="../../css/fonts.css">
− <link rel="stylesheet" type="text/css" href="../../css/banner-styles.css">
− <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png" />
− <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script>
− <script type="text/javascript" async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script>
− <script type="text/x-mathjax-config"> MathJax.Hub.Config({
− extensions: ['tex2jax.js'],
− jax: ['input/TeX','output/HTML-CSS'],
− tex2jax: {
− inlineMath: [ ['$','$'], ['\\(','\\)'] ],
− processEscapes: true,
− processClass: 'tex2jax',
− ignoreClass: 'html'
− },
− showProcessingMessages: false,
− messageStyle: 'none'
− });
− </script>
− </head>
− <body style="">
− <div class="container row">
− <div class="col flash">
− <header>
− <h1>Решение задач из Савченко О.Я.</h1>
− </header>
− </div>
− <aside class="col col-lg-3">
− <nav>
− <ul class="nav">
− <li>
− <a href="../../#1">1.Кинематика</a>
− </li>
− <li>
− <a href="../../#2">2.Динамика</a>
− </li>
− <li>
− <a href="../../#3">3.Колебания</a>
− </li>
− <li>
− <a href="../../#4">4.Гидростатика</a>
− </li>
− <li>
− <a href="../../#5">5.Молекулярная</a>
− </li>
− <li>
− <a href="../../#6">6.Электростатика</a>
− </li>
− <li>
− <a href="../../#7">7.Движение в электрическом поле</a>
− </li>
− <li>
− <a href="../../#8">8.Электрический ток</a>
− </li>
− <li>
− <a href="../../#9">9.Магнитное поле</a>
− </li>
− <li>
− <a href="../../#10">10.Движение в сложных полях</a>
− </li>
− <li>
− <a href="../../#11">11.Электромагнитная индукция</a>
− </li>
− <li>
− <a href="../../#12">12.Электромагнитные волны</a>
− </li>
− <li>
− <a href="../../#13">13.Оптика</a>
− </li>
− <li>
− <a href="../../#14">14.CTO</a>
− </li>
− </ul>
− </nav>
− </aside>
− <div id="main" class="col col-lg-9">
− <div class="row">
− <div class="col caption">
− <h2>
− <a href="../">←Назад</a>
− </h2>
− </div>
− </div>
− <div id="1" class="row odd">
− <div class="col col-lg-12">
− <h3> Условие: </h3>
− <div class="task">
− <p> \(2.1.45^*.\) На плоскости, тангенс угла наклона которой равен коэффициенту трения, лежит монета. В горизонтальном направлении вдоль плоскости монете
− сообщили скорость $v$. Найдите установившуюся скорость монеты.
− </p>
− </div>
− <!-- <div class="StatementDiv"><img class="Statement" src="statement.png"></div> -->
− <hr>
− <h3> Решение: </h3>
− <center>
− <div class="StatementDiv">
− <img class="Statement" src="sol.jpg" style="max-height: 350;">
− </div>
− </center>
− <div class="solutions">
− <p class="TxtSolutions">
− Проектируем $m\vec{g}$ на $OY$:
− </p>
− </div>
− <center>
− <div class="StatementDiv">
− <img class="Statement" src="sol1.jpg" style="max-height: 350;">
− </div>
− </center>
− <div class="solutions">
− <p class="TxtSolutions">
− Из рисунка, найдем силу реакции опоры:<br><br>
− <center>
− $N=mg\,cos\,\alpha$<br><br>
− </center>
− По Закону Амонтона — Кулона:
− <center>
− $F_{тр}=\mu N=\mu mg\,cos\,\alpha$<br><br>
− </center>
− Т.к. $\mu = tg\,\alpha$ (по условию):<br><br>
− <center>
− $F_{тр}=\mu mg\,cos\,\alpha$$=mg \cdot tg\,\alpha \cdot cos\,\alpha=mg\,sin\,\alpha$<br><br>
− $F=mg\,sin\,\alpha$<br><br>
− </center>
− Перерисуем в плоскости $XY$<br><br>
− <center>
− В начальный момент $(\varphi=90^{\circ})$:
− </center>
− </p>
− </div>
− <center>
− <div class="StatementDiv">
− <img class="Statement" src="sol3.jpg" style="max-height: 350;">
− </div>
− </center>
− <div class="solutions">
− <p class="TxtSolutions">
− <center>
− <br>
− В конечный момент $(\varphi=0^{\circ})$:
− </center>
− <center>
− <div class="StatementDiv">
− <img class="Statement" src="sol4.jpg" style="max-height: 350;">
− </div>
− </center>
− </p>
− </div>
− <div class="solutions">
− <p class="TxtSolutions">
− <center>
− <br>
− Рассмотрим, произвольный момент:
− </center>
− <center>
− <div class="StatementDiv">
− <img class="Statement" src="sol2.jpg" style="max-height: 350;">
− </div>
− </center>
− </p>
− </div>
+<!DOCTYPE html>
+<html lang="ru">
− <div class="solutions">
− <p class="TxtSolutions">
− Заметим, что $\varphi$ меняется от $0^{\circ}$ до $90^{\circ}$:<br><br>
− Запишем второй закон Ньютона:<br><br>
− <center>
− $\left\{\begin{matrix}
−\frac{du_x}{dt} = \frac{F \, sin \, \varphi }{m}& \\
−\frac{du_y}{dt} = \frac{F (1-\, cos \, \varphi) }{m} &
−\end{matrix}\right.$<br><br>
+<head>
+ <meta charset="utf-8">
+ <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
+ <meta http-equiv="content-language" content="ru">
+ <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник">
+ <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я.">
+ <meta property="og:title" content="Решебник Савченко">
+ <meta property="og:image" content="img/logo.png">
+ <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сборника задач Савенко О.Я.">
+ <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368">
+ <title>Решебник Савченко</title>
+ <link rel="stylesheet" href="../../css/css-latex/style.css">
+ <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png">
+ <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script>
+ <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script>
+ <script type="text/x-mathjax-config">
+ MathJax.Hub.Config({
+ extensions: ['tex2jax.js'],
+ jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'],
+ tex2jax: {
+ inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']],
+ processEscapes: true,
+ processClass: 'tex2jax',
+ ignoreClass: 'html'
+ },
+ showProcessingMessages: false,
+ messageStyle: 'none'
+ });
+ </script>
+</head>
+ <body style="">
+ <header style="text-align:center;">
+ <h2>Решение задач из Савченко О.Я.</h2>
+ <p class="author">
+ Aliaksandr Melnichenka <br/>
+ October 2023
+ </p>
+ </header>
− $\left\{\begin{matrix}
−\frac{d}{dt} (u \, sin\,\varphi)= \frac{F \, sin \, \varphi }{m}& \\
−\frac{d}{dt} (u \, cos\,\varphi) = \frac{F (1-\, cos \, \varphi) }{m} &
−\end{matrix}\right.$<br><br>
−</center>
−Решаем систему дифференциальных уравнений:<br><br>
−<center>
− $\left\{\begin{matrix}
−\frac{d\varphi}{dt} = \frac{F \, sin \, \varphi }{mu}& (a)\\
−\frac{du}{dt} = \frac{F (1-\, cos \, \varphi) }{m} & (b)
−\end{matrix}\right.$<br><br>
−</center>
−Разделим $(b)$ на $(a)$:
−<center>
− $\frac{du}{d\varphi} = u\frac{1-\, cos \, \varphi}{sin \, \varphi}$<br><br>
− $\frac{du}{u} = \frac{1-\, cos \, \varphi}{sin \, \varphi} d\varphi$<br><br>
− $\frac{du}{u} = tg (\frac{\varphi}{2}) \, d\varphi$<br><br>
−</center>
−Интегрируем обе части уравнения:
−<center>
− <!-- $\int_{v_0}^{v}\frac{du}{u} = \int_{90^{\circ}}^{0^{\circ}}tg (\frac{\varphi}{2}) \, d\varphi \; (c)$<br><br> -->
− $\int \frac{du}{u} = \int tg (\frac{\varphi}{2}) \, d\varphi \; (c)$<br><br>
− $\int\frac{du}{u}=ln|u| \; (d)$<br><br>
− $\int tg (\frac{\varphi}{2}) \, d\varphi=-2 ln(cos(\frac{x}{2})) \; (e)$<br><br>
−</center>
−Подставляем $(e)$ и $(d)$ в $(c)$:
−<center>
− $ln(v)+C=ln(sin(\varphi)) $$-(ln(sin(\frac{\varphi}{2})-cos(\frac{\varphi}{2})))\; (e)$<br><br>
− $v_x=\frac{v}{2}$<br><br>
−</center>
− </p>
− </div>
+ <h3 id="back-link"><a href="../">$\leftarrow$Назад</a></h3>
− <h3> Ответ: $\frac{v}{2}$</h3>
− </div>
− </div>
+ <h3> Условие: </h3>
+
+ <p>
+ $2.1.45^*.$ На плоскости, тангенс угла наклона которой равен коэффициенту трения, лежит монета. В горизонтальном направлении вдоль плоскости монете сообщили скорость $v$. Найдите установившуюся скорость монеты.
+ </p>
+
+ <h3> Решение: </h3>
+ <center>
+ <figure>
+ <img src="sol.jpg"
+ loading="lazy" width="250" />
+ <figcaption>
+ Силы действующие на тело
+ </figcaption>
+ </figure>
+ </center>
+ <p>
+ Проектируем $m\vec{g}$ на $OY$:
+ </p>
+ <br>
+ <center>
+ <figure>
+ <img src="sol1.jpg"
+ loading="lazy" width="250" />
+ <figcaption>
+ Проетируем на $OY$
+ </figcaption>
+ </figure>
+ </center>
+ <p>
+ Из рисунка, найдем силу реакции опоры:
+ $$N=mg \cos \alpha$$
+ По Закону Амонтона — Кулона:
+ $$F_{тр}=\mu N=\mu mg \cos \alpha$$
+ Т.к. $\mu = tg \alpha$ (по условию):
+ $$F_{тр}=\mu mg \cos \alpha$$
+ $$F_{тр}=mg \cdot tg \alpha \cdot \cos \alpha=mg \sin \alpha$$
+ $$F=mg \sin \alpha$$
+ Перерисуем в плоскости $XY$
+ В начальный момент $(\varphi=90^{\circ})$:
+ </p>
+ <br>
+ <center>
+ <figure>
+ <img src="sol3.jpg"
+ loading="lazy" width="250" />
+ <figcaption>
+ Рисунок в плоскости $xOy$
+ </figcaption>
+ </figure>
+ </center>
+ <p>
+ В конечный момент $(\varphi=0^{\circ})$:
+ </p>
+ <br>
+ <center>
+ <figure>
+ <img src="sol4.jpg"
+ loading="lazy" width="250" />
+ <figcaption>
+ Силы действующие на тело в конечный момент
+ </figcaption>
+ </figure>
+ </center>
+ <p>
+ Рассмотрим, произвольный момент:
+ </p>
+ <br>
+ <center>
+ <figure>
+ <img src="sol2.jpg"
+ loading="lazy" width="250" />
+ <figcaption>
+ Силы действующие на тело в произвольный момент
+ </figcaption>
+ </figure>
+ </center>
+ <p>
+ Заметим, что $\varphi$ меняется от $0^{\circ}$ до $90^{\circ}$:
+ </p>
+ <p>
+ Запишем второй закон Ньютона:
+ $$\left\{\begin{matrix}
+ \frac{du_x}{dt} = \frac{F \sin \varphi }{m}& \\
+ \frac{du_y}{dt} = \frac{F (1- \cos \varphi) }{m} &
+ \end{matrix}\right.$$
+
+ $$\left\{\begin{matrix}
+ \frac{d}{dt} (u \sin \varphi)= \frac{F \sin \varphi }{m}& \\
+ \frac{d}{dt} (u \cos \varphi) = \frac{F (1- \cos \varphi) }{m} &
+ \end{matrix}\right.$$
+ Решаем систему дифференциальных уравнений:
+ $$\left\{\begin{matrix}
+ \frac{d\varphi}{dt} = \frac{F \sin \varphi }{mu}& (a)\\
+ \frac{du}{dt} = \frac{F (1- \cos \varphi) }{m} & (b)
+ \end{matrix}\right.$$
+ Разделим $(b)$ на $(a)$:
+ $$\frac{du}{d\varphi} = u\frac{1- \cos \varphi}{\sin \varphi}$$
+ $$\frac{du}{u} = \frac{1- \cos \varphi}{\sin \varphi} d\varphi$$
+ $$\frac{du}{u} = tg (\frac{\varphi}{2}) d\varphi$$
+ Интегрируем обе части уравнения:
+ <!-- $\int_{v_0}^{v}\frac{du}{u} = \int_{90^{\circ}}^{0^{\circ}}tg (\frac{\varphi}{2}) d\varphi \; (c)$ -->
+ $$\int \frac{du}{u} = \int tg (\frac{\varphi}{2}) d\varphi \; (c)$$
+ $$\int\frac{du}{u}=ln|u| \; (d)$$
+ $$\int tg (\frac{\varphi}{2}) d\varphi=-2 ln(\cos(\frac{x}{2})) \; (e)$$
+ Подставляем $(e)$ и $(d)$ в $(c)$:
+ <div class="scroll-wrapper">
+ $$ln(v)+C=ln(\sin(\varphi)) -(ln(\sin(\frac{\varphi}{2})-\cos(\frac{\varphi}{2})))\; (e)$$
</div>
− <a href="#" class="back-to-top affix"> ↑ наверх </a>
− </div>
− </div>
− <footer class="row container">
− <div class="col col-lg-3">
− <div class="footer-left">
− <p>
− <small> © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, &nbsp;&nbsp;&nbsp; 2023-2024 <br>
− </small>
− </p>
− </div>
− </div>
− <div class="col col-lg-6">
− <div class="footer-middle">
− <p>
− <small> Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> astrosander01@gmail.com <br>
− <i>E = mc <sup>2</sup>
− </i>. </small>
− </p>
− </div>
− </div>
− <div class="col col-lg-3">
− <div class="footer-right">
− <div class="pull-right"></div>
− </div>
− </div>
− </footer>
− <script type="text/javascript" src="../../js/bootstrap-affix.js"></script>
− <script type="text/javascript">
− $(function() {
− setTimeout(function() {
− $('.back-to-top').affix();
− }, 100);
− });
− </script>
− </body>
+ $$v_x=\frac{v}{2}$$
+ </p>
+ <h3> Ответ: </h3>
+ <p>
+ $$\frac{v}{2}$$
+ </p>
+
+
+
+ <footer class="row container">
+ <br>
+
+ <p>
+ <small> © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, 2023-2024 <br></small>
+ </p>
+ <p>
+ <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> astrosander01@gmail.com <br></small>
+ </p>
+ </footer>
+ </body>
+
</html>