Updated 2.1.45 solution
ru/2.1.45.md
+170 −255
| @@ -1,260 +1,175 @@ | |||
| − | <html> | ||
| − | |||
| − | <title>Решебник Савченко</title> | ||
| − | <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> | ||
| − | <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я."> | ||
| − | <meta http-equiv="content-language" content="ru"> | ||
| − | <meta charset="utf-8"> | ||
| − | <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> | ||
| − | <meta property="og:title" content="Решебник Савченко" /> | ||
| − | <meta property="og:image" content="img/logo.png"> | ||
| − | <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сбоника задач Савенко О.Я."> | ||
| − | <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368" /> | ||
| − | <link rel="stylesheet" type="text/css" href="../../css/bootstrap.css"> | ||
| − | <link rel="stylesheet" media="screen and (max-width: 769px)" type="text/css" href="../../css/StyleMobile.css"> | ||
| − | <link rel="stylesheet" media="screen and (min-width: 769px)" type="text/css" href="../../css/style.css"> | ||
| − | <link rel="stylesheet" type="text/css" href="../../css/fonts.css"> | ||
| − | <link rel="stylesheet" type="text/css" href="../../css/banner-styles.css"> | ||
| − | <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png" /> | ||
| − | <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script> | ||
| − | <script type="text/javascript" async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script> | ||
| − | <script type="text/x-mathjax-config"> MathJax.Hub.Config({ | ||
| − | extensions: ['tex2jax.js'], | ||
| − | jax: ['input/TeX','output/HTML-CSS'], | ||
| − | tex2jax: { | ||
| − | inlineMath: [ ['$','$'], ['\\(','\\)'] ], | ||
| − | processEscapes: true, | ||
| − | processClass: 'tex2jax', | ||
| − | ignoreClass: 'html' | ||
| − | }, | ||
| − | showProcessingMessages: false, | ||
| − | messageStyle: 'none' | ||
| − | }); | ||
| − | </script> | ||
| − | </head> | ||
| − | <body style=""> | ||
| − | <div class="container row"> | ||
| − | <div class="col flash"> | ||
| − | <header> | ||
| − | <h1>Решение задач из Савченко О.Я.</h1> | ||
| − | </header> | ||
| − | </div> | ||
| − | <aside class="col col-lg-3"> | ||
| − | <nav> | ||
| − | <ul class="nav"> | ||
| − | <li> | ||
| − | <a href="../../#1">1.Кинематика</a> | ||
| − | </li> | ||
| − | <li> | ||
| − | <a href="../../#2">2.Динамика</a> | ||
| − | </li> | ||
| − | <li> | ||
| − | <a href="../../#3">3.Колебания</a> | ||
| − | </li> | ||
| − | <li> | ||
| − | <a href="../../#4">4.Гидростатика</a> | ||
| − | </li> | ||
| − | <li> | ||
| − | <a href="../../#5">5.Молекулярная</a> | ||
| − | </li> | ||
| − | <li> | ||
| − | <a href="../../#6">6.Электростатика</a> | ||
| − | </li> | ||
| − | <li> | ||
| − | <a href="../../#7">7.Движение в электрическом поле</a> | ||
| − | </li> | ||
| − | <li> | ||
| − | <a href="../../#8">8.Электрический ток</a> | ||
| − | </li> | ||
| − | <li> | ||
| − | <a href="../../#9">9.Магнитное поле</a> | ||
| − | </li> | ||
| − | <li> | ||
| − | <a href="../../#10">10.Движение в сложных полях</a> | ||
| − | </li> | ||
| − | <li> | ||
| − | <a href="../../#11">11.Электромагнитная индукция</a> | ||
| − | </li> | ||
| − | <li> | ||
| − | <a href="../../#12">12.Электромагнитные волны</a> | ||
| − | </li> | ||
| − | <li> | ||
| − | <a href="../../#13">13.Оптика</a> | ||
| − | </li> | ||
| − | <li> | ||
| − | <a href="../../#14">14.CTO</a> | ||
| − | </li> | ||
| − | </ul> | ||
| − | </nav> | ||
| − | </aside> | ||
| − | <div id="main" class="col col-lg-9"> | ||
| − | <div class="row"> | ||
| − | <div class="col caption"> | ||
| − | <h2> | ||
| − | <a href="../">←Назад</a> | ||
| − | </h2> | ||
| − | </div> | ||
| − | </div> | ||
| − | <div id="1" class="row odd"> | ||
| − | <div class="col col-lg-12"> | ||
| − | <h3> Условие: </h3> | ||
| − | <div class="task"> | ||
| − | <p> \(2.1.45^*.\) На плоскости, тангенс угла наклона которой равен коэффициенту трения, лежит монета. В горизонтальном направлении вдоль плоскости монете | ||
| − | сообщили скорость $v$. Найдите установившуюся скорость монеты. | ||
| − | </p> | ||
| − | </div> | ||
| − | <!-- <div class="StatementDiv"><img class="Statement" src="statement.png"></div> --> | ||
| − | <hr> | ||
| − | <h3> Решение: </h3> | ||
| − | <center> | ||
| − | <div class="StatementDiv"> | ||
| − | <img class="Statement" src="sol.jpg" style="max-height: 350;"> | ||
| − | </div> | ||
| − | </center> | ||
| − | <div class="solutions"> | ||
| − | <p class="TxtSolutions"> | ||
| − | Проектируем $m\vec{g}$ на $OY$: | ||
| − | </p> | ||
| − | </div> | ||
| − | <center> | ||
| − | <div class="StatementDiv"> | ||
| − | <img class="Statement" src="sol1.jpg" style="max-height: 350;"> | ||
| − | </div> | ||
| − | </center> | ||
| − | <div class="solutions"> | ||
| − | <p class="TxtSolutions"> | ||
| − | Из рисунка, найдем силу реакции опоры:<br><br> | ||
| − | <center> | ||
| − | $N=mg\,cos\,\alpha$<br><br> | ||
| − | </center> | ||
| − | По Закону Амонтона — Кулона: | ||
| − | <center> | ||
| − | $F_{тр}=\mu N=\mu mg\,cos\,\alpha$<br><br> | ||
| − | </center> | ||
| − | Т.к. $\mu = tg\,\alpha$ (по условию):<br><br> | ||
| − | <center> | ||
| − | $F_{тр}=\mu mg\,cos\,\alpha$$=mg \cdot tg\,\alpha \cdot cos\,\alpha=mg\,sin\,\alpha$<br><br> | ||
| − | $F=mg\,sin\,\alpha$<br><br> | ||
| − | </center> | ||
| − | Перерисуем в плоскости $XY$<br><br> | ||
| − | <center> | ||
| − | В начальный момент $(\varphi=90^{\circ})$: | ||
| − | </center> | ||
| − | </p> | ||
| − | </div> | ||
| − | <center> | ||
| − | <div class="StatementDiv"> | ||
| − | <img class="Statement" src="sol3.jpg" style="max-height: 350;"> | ||
| − | </div> | ||
| − | </center> | ||
| − | <div class="solutions"> | ||
| − | <p class="TxtSolutions"> | ||
| − | <center> | ||
| − | <br> | ||
| − | В конечный момент $(\varphi=0^{\circ})$: | ||
| − | </center> | ||
| − | <center> | ||
| − | <div class="StatementDiv"> | ||
| − | <img class="Statement" src="sol4.jpg" style="max-height: 350;"> | ||
| − | </div> | ||
| − | </center> | ||
| − | </p> | ||
| − | </div> | ||
| − | <div class="solutions"> | ||
| − | <p class="TxtSolutions"> | ||
| − | <center> | ||
| − | <br> | ||
| − | Рассмотрим, произвольный момент: | ||
| − | </center> | ||
| − | <center> | ||
| − | <div class="StatementDiv"> | ||
| − | <img class="Statement" src="sol2.jpg" style="max-height: 350;"> | ||
| − | </div> | ||
| − | </center> | ||
| − | </p> | ||
| − | </div> | ||
| + | <!DOCTYPE html> | ||
| + | <html lang="ru"> | ||
| − | | ||
| − | | ||
| − | Заметим, что $\varphi$ меняется от $0^{\circ}$ до $90^{\circ}$:<br><br> | ||
| − | Запишем второй закон Ньютона:<br><br> | ||
| − | | ||
| − | $\left\{\begin{matrix} | ||
| − | \frac{du_x}{dt} = \frac{F \, sin \, \varphi }{m}& \\ | ||
| − | \frac{du_y}{dt} = \frac{F (1-\, cos \, \varphi) }{m} & | ||
| − | \end{matrix}\right.$<br><br> | ||
| + | <head> | ||
| + | <meta charset="utf-8"> | ||
| + | <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> | ||
| + | <meta http-equiv="content-language" content="ru"> | ||
| + | <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> | ||
| + | <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я."> | ||
| + | <meta property="og:title" content="Решебник Савченко"> | ||
| + | <meta property="og:image" content="img/logo.png"> | ||
| + | <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сборника задач Савенко О.Я."> | ||
| + | <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368"> | ||
| + | <title>Решебник Савченко</title> | ||
| + | <link rel="stylesheet" href="../../css/css-latex/style.css"> | ||
| + | <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png"> | ||
| + | <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script> | ||
| + | <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script> | ||
| + | <script type="text/x-mathjax-config"> | ||
| + | MathJax.Hub.Config({ | ||
| + | extensions: ['tex2jax.js'], | ||
| + | jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'], | ||
| + | tex2jax: { | ||
| + | inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']], | ||
| + | processEscapes: true, | ||
| + | processClass: 'tex2jax', | ||
| + | ignoreClass: 'html' | ||
| + | }, | ||
| + | showProcessingMessages: false, | ||
| + | messageStyle: 'none' | ||
| + | }); | ||
| + | </script> | ||
| + | </head> | ||
| + | <body style=""> | ||
| + | <header style="text-align:center;"> | ||
| + | <h2>Решение задач из Савченко О.Я.</h2> | ||
| + | <p class="author"> | ||
| + | Aliaksandr Melnichenka <br/> | ||
| + | October 2023 | ||
| + | </p> | ||
| + | </header> | ||
| − | | ||
| − | \frac{d}{dt} (u \, sin\,\varphi)= \frac{F \, sin \, \varphi }{m}& \\ | ||
| − | \frac{d}{dt} (u \, cos\,\varphi) = \frac{F (1-\, cos \, \varphi) }{m} & | ||
| − | \end{matrix}\right.$<br><br> | ||
| − | </center> | ||
| − | Решаем систему дифференциальных уравнений:<br><br> | ||
| − | <center> | ||
| − | $\left\{\begin{matrix} | ||
| − | \frac{d\varphi}{dt} = \frac{F \, sin \, \varphi }{mu}& (a)\\ | ||
| − | \frac{du}{dt} = \frac{F (1-\, cos \, \varphi) }{m} & (b) | ||
| − | \end{matrix}\right.$<br><br> | ||
| − | </center> | ||
| − | Разделим $(b)$ на $(a)$: | ||
| − | <center> | ||
| − | $\frac{du}{d\varphi} = u\frac{1-\, cos \, \varphi}{sin \, \varphi}$<br><br> | ||
| − | $\frac{du}{u} = \frac{1-\, cos \, \varphi}{sin \, \varphi} d\varphi$<br><br> | ||
| − | $\frac{du}{u} = tg (\frac{\varphi}{2}) \, d\varphi$<br><br> | ||
| − | </center> | ||
| − | Интегрируем обе части уравнения: | ||
| − | <center> | ||
| − | <!-- $\int_{v_0}^{v}\frac{du}{u} = \int_{90^{\circ}}^{0^{\circ}}tg (\frac{\varphi}{2}) \, d\varphi \; (c)$<br><br> --> | ||
| − | $\int \frac{du}{u} = \int tg (\frac{\varphi}{2}) \, d\varphi \; (c)$<br><br> | ||
| − | $\int\frac{du}{u}=ln|u| \; (d)$<br><br> | ||
| − | $\int tg (\frac{\varphi}{2}) \, d\varphi=-2 ln(cos(\frac{x}{2})) \; (e)$<br><br> | ||
| − | </center> | ||
| − | Подставляем $(e)$ и $(d)$ в $(c)$: | ||
| − | <center> | ||
| − | $ln(v)+C=ln(sin(\varphi)) $$-(ln(sin(\frac{\varphi}{2})-cos(\frac{\varphi}{2})))\; (e)$<br><br> | ||
| − | $v_x=\frac{v}{2}$<br><br> | ||
| − | </center> | ||
| − | </p> | ||
| − | </div> | ||
| + | <h3 id="back-link"><a href="../">$\leftarrow$Назад</a></h3> | ||
| − | | ||
| − | | ||
| − | | ||
| + | <h3> Условие: </h3> | ||
| + | |||
| + | <p> | ||
| + | $2.1.45^*.$ На плоскости, тангенс угла наклона которой равен коэффициенту трения, лежит монета. В горизонтальном направлении вдоль плоскости монете сообщили скорость $v$. Найдите установившуюся скорость монеты. | ||
| + | </p> | ||
| + | |||
| + | <h3> Решение: </h3> | ||
| + | <center> | ||
| + | <figure> | ||
| + | <img src="sol.jpg" | ||
| + | loading="lazy" width="250" /> | ||
| + | <figcaption> | ||
| + | Силы действующие на тело | ||
| + | </figcaption> | ||
| + | </figure> | ||
| + | </center> | ||
| + | <p> | ||
| + | Проектируем $m\vec{g}$ на $OY$: | ||
| + | </p> | ||
| + | <br> | ||
| + | <center> | ||
| + | <figure> | ||
| + | <img src="sol1.jpg" | ||
| + | loading="lazy" width="250" /> | ||
| + | <figcaption> | ||
| + | Проетируем на $OY$ | ||
| + | </figcaption> | ||
| + | </figure> | ||
| + | </center> | ||
| + | <p> | ||
| + | Из рисунка, найдем силу реакции опоры: | ||
| + | $$N=mg \cos \alpha$$ | ||
| + | По Закону Амонтона — Кулона: | ||
| + | $$F_{тр}=\mu N=\mu mg \cos \alpha$$ | ||
| + | Т.к. $\mu = tg \alpha$ (по условию): | ||
| + | $$F_{тр}=\mu mg \cos \alpha$$ | ||
| + | $$F_{тр}=mg \cdot tg \alpha \cdot \cos \alpha=mg \sin \alpha$$ | ||
| + | $$F=mg \sin \alpha$$ | ||
| + | Перерисуем в плоскости $XY$ | ||
| + | В начальный момент $(\varphi=90^{\circ})$: | ||
| + | </p> | ||
| + | <br> | ||
| + | <center> | ||
| + | <figure> | ||
| + | <img src="sol3.jpg" | ||
| + | loading="lazy" width="250" /> | ||
| + | <figcaption> | ||
| + | Рисунок в плоскости $xOy$ | ||
| + | </figcaption> | ||
| + | </figure> | ||
| + | </center> | ||
| + | <p> | ||
| + | В конечный момент $(\varphi=0^{\circ})$: | ||
| + | </p> | ||
| + | <br> | ||
| + | <center> | ||
| + | <figure> | ||
| + | <img src="sol4.jpg" | ||
| + | loading="lazy" width="250" /> | ||
| + | <figcaption> | ||
| + | Силы действующие на тело в конечный момент | ||
| + | </figcaption> | ||
| + | </figure> | ||
| + | </center> | ||
| + | <p> | ||
| + | Рассмотрим, произвольный момент: | ||
| + | </p> | ||
| + | <br> | ||
| + | <center> | ||
| + | <figure> | ||
| + | <img src="sol2.jpg" | ||
| + | loading="lazy" width="250" /> | ||
| + | <figcaption> | ||
| + | Силы действующие на тело в произвольный момент | ||
| + | </figcaption> | ||
| + | </figure> | ||
| + | </center> | ||
| + | <p> | ||
| + | Заметим, что $\varphi$ меняется от $0^{\circ}$ до $90^{\circ}$: | ||
| + | </p> | ||
| + | <p> | ||
| + | Запишем второй закон Ньютона: | ||
| + | $$\left\{\begin{matrix} | ||
| + | \frac{du_x}{dt} = \frac{F \sin \varphi }{m}& \\ | ||
| + | \frac{du_y}{dt} = \frac{F (1- \cos \varphi) }{m} & | ||
| + | \end{matrix}\right.$$ | ||
| + | |||
| + | $$\left\{\begin{matrix} | ||
| + | \frac{d}{dt} (u \sin \varphi)= \frac{F \sin \varphi }{m}& \\ | ||
| + | \frac{d}{dt} (u \cos \varphi) = \frac{F (1- \cos \varphi) }{m} & | ||
| + | \end{matrix}\right.$$ | ||
| + | Решаем систему дифференциальных уравнений: | ||
| + | $$\left\{\begin{matrix} | ||
| + | \frac{d\varphi}{dt} = \frac{F \sin \varphi }{mu}& (a)\\ | ||
| + | \frac{du}{dt} = \frac{F (1- \cos \varphi) }{m} & (b) | ||
| + | \end{matrix}\right.$$ | ||
| + | Разделим $(b)$ на $(a)$: | ||
| + | $$\frac{du}{d\varphi} = u\frac{1- \cos \varphi}{\sin \varphi}$$ | ||
| + | $$\frac{du}{u} = \frac{1- \cos \varphi}{\sin \varphi} d\varphi$$ | ||
| + | $$\frac{du}{u} = tg (\frac{\varphi}{2}) d\varphi$$ | ||
| + | Интегрируем обе части уравнения: | ||
| + | <!-- $\int_{v_0}^{v}\frac{du}{u} = \int_{90^{\circ}}^{0^{\circ}}tg (\frac{\varphi}{2}) d\varphi \; (c)$ --> | ||
| + | $$\int \frac{du}{u} = \int tg (\frac{\varphi}{2}) d\varphi \; (c)$$ | ||
| + | $$\int\frac{du}{u}=ln|u| \; (d)$$ | ||
| + | $$\int tg (\frac{\varphi}{2}) d\varphi=-2 ln(\cos(\frac{x}{2})) \; (e)$$ | ||
| + | Подставляем $(e)$ и $(d)$ в $(c)$: | ||
| + | <div class="scroll-wrapper"> | ||
| + | $$ln(v)+C=ln(\sin(\varphi)) -(ln(\sin(\frac{\varphi}{2})-\cos(\frac{\varphi}{2})))\; (e)$$ | ||
| </div> | |||
| − | <a href="#" class="back-to-top affix"> ↑ наверх </a> | ||
| − | | ||
| − | | ||
| − | | ||
| − | < | ||
| − | | ||
| − | | ||
| − | <small> © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, 2023-2024 <br> | ||
| − | </small> | ||
| − | </p> | ||
| − | </div> | ||
| − | </div> | ||
| − | <div class="col col-lg-6"> | ||
| − | <div class="footer-middle"> | ||
| − | <p> | ||
| − | <small> Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> astrosander01@gmail.com <br> | ||
| − | <i>E = mc <sup>2</sup> | ||
| − | </i>. </small> | ||
| − | </p> | ||
| − | </div> | ||
| − | </div> | ||
| − | <div class="col col-lg-3"> | ||
| − | <div class="footer-right"> | ||
| − | <div class="pull-right"></div> | ||
| − | </div> | ||
| − | </div> | ||
| − | </footer> | ||
| − | <script type="text/javascript" src="../../js/bootstrap-affix.js"></script> | ||
| − | <script type="text/javascript"> | ||
| − | $(function() { | ||
| − | setTimeout(function() { | ||
| − | $('.back-to-top').affix(); | ||
| − | }, 100); | ||
| − | }); | ||
| − | </script> | ||
| − | </body> | ||
| + | $$v_x=\frac{v}{2}$$ | ||
| + | </p> | ||
| + | <h3> Ответ: </h3> | ||
| + | <p> | ||
| + | $$\frac{v}{2}$$ | ||
| + | </p> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | <footer class="row container"> | ||
| + | <br> | ||
| + | |||
| + | <p> | ||
| + | <small> © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, 2023-2024 <br></small> | ||
| + | </p> | ||
| + | <p> | ||
| + | <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> astrosander01@gmail.com <br></small> | ||
| + | </p> | ||
| + | </footer> | ||
| + | </body> | ||
| + | |||
| </html> | |||
| @@ -1,260 +1,175 @@ | |||
| <html> | <!DOCTYPE html> | ||
| <html lang="ru"> | |||
| <title>Решебник Савченко</title> | |||
| <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> | |||
| <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я."> | |||
| <meta http-equiv="content-language" content="ru"> | |||
| <meta charset="utf-8"> | |||
| <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> | |||
| <meta property="og:title" content="Решебник Савченко" /> | |||
| <meta property="og:image" content="img/logo.png"> | |||
| <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сбоника задач Савенко О.Я."> | |||
| <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368" /> | |||
| <link rel="stylesheet" type="text/css" href="../../css/bootstrap.css"> | |||
| <link rel="stylesheet" media="screen and (max-width: 769px)" type="text/css" href="../../css/StyleMobile.css"> | |||
| <link rel="stylesheet" media="screen and (min-width: 769px)" type="text/css" href="../../css/style.css"> | |||
| <link rel="stylesheet" type="text/css" href="../../css/fonts.css"> | |||
| <link rel="stylesheet" type="text/css" href="../../css/banner-styles.css"> | |||
| <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png" /> | |||
| <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script> | |||
| <script type="text/javascript" async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script> | |||
| <script type="text/x-mathjax-config"> MathJax.Hub.Config({ | |||
| extensions: ['tex2jax.js'], | |||
| jax: ['input/TeX','output/HTML-CSS'], | |||
| tex2jax: { | |||
| inlineMath: [ ['$','$'], ['\\(','\\)'] ], | |||
| processEscapes: true, | |||
| processClass: 'tex2jax', | |||
| ignoreClass: 'html' | |||
| }, | |||
| showProcessingMessages: false, | |||
| messageStyle: 'none' | |||
| }); | |||
| </script> | |||
| </head> | |||
| <body style=""> | |||
| <div class="container row"> | |||
| <div class="col flash"> | |||
| <header> | |||
| <h1>Решение задач из Савченко О.Я.</h1> | |||
| </header> | |||
| </div> | |||
| <aside class="col col-lg-3"> | |||
| <nav> | |||
| <ul class="nav"> | |||
| <li> | |||
| <a href="../../#1">1.Кинематика</a> | |||
| </li> | |||
| <li> | |||
| <a href="../../#2">2.Динамика</a> | |||
| </li> | |||
| <li> | |||
| <a href="../../#3">3.Колебания</a> | |||
| </li> | |||
| <li> | |||
| <a href="../../#4">4.Гидростатика</a> | |||
| </li> | |||
| <li> | |||
| <a href="../../#5">5.Молекулярная</a> | |||
| </li> | |||
| <li> | |||
| <a href="../../#6">6.Электростатика</a> | |||
| </li> | |||
| <li> | |||
| <a href="../../#7">7.Движение в электрическом поле</a> | |||
| </li> | |||
| <li> | |||
| <a href="../../#8">8.Электрический ток</a> | |||
| </li> | |||
| <li> | |||
| <a href="../../#9">9.Магнитное поле</a> | |||
| </li> | |||
| <li> | |||
| <a href="../../#10">10.Движение в сложных полях</a> | |||
| </li> | |||
| <li> | |||
| <a href="../../#11">11.Электромагнитная индукция</a> | |||
| </li> | |||
| <li> | |||
| <a href="../../#12">12.Электромагнитные волны</a> | |||
| </li> | |||
| <li> | |||
| <a href="../../#13">13.Оптика</a> | |||
| </li> | |||
| <li> | |||
| <a href="../../#14">14.CTO</a> | |||
| </li> | |||
| </ul> | |||
| </nav> | |||
| </aside> | |||
| <div id="main" class="col col-lg-9"> | |||
| <div class="row"> | |||
| <div class="col caption"> | |||
| <h2> | |||
| <a href="../">←Назад</a> | |||
| </h2> | |||
| </div> | |||
| </div> | |||
| <div id="1" class="row odd"> | |||
| <div class="col col-lg-12"> | |||
| <h3> Условие: </h3> | |||
| <div class="task"> | |||
| <p> \(2.1.45^*.\) На плоскости, тангенс угла наклона которой равен коэффициенту трения, лежит монета. В горизонтальном направлении вдоль плоскости монете | |||
| сообщили скорость $v$. Найдите установившуюся скорость монеты. | |||
| </p> | |||
| </div> | |||
| <!-- <div class="StatementDiv"><img class="Statement" src="statement.png"></div> --> | |||
| <hr> | |||
| <h3> Решение: </h3> | |||
| <center> | |||
| <div class="StatementDiv"> | |||
| <img class="Statement" src="sol.jpg" style="max-height: 350;"> | |||
| </div> | |||
| </center> | |||
| <div class="solutions"> | |||
| <p class="TxtSolutions"> | |||
| Проектируем $m\vec{g}$ на $OY$: | |||
| </p> | |||
| </div> | |||
| <center> | |||
| <div class="StatementDiv"> | |||
| <img class="Statement" src="sol1.jpg" style="max-height: 350;"> | |||
| </div> | |||
| </center> | |||
| <div class="solutions"> | |||
| <p class="TxtSolutions"> | |||
| Из рисунка, найдем силу реакции опоры:<br><br> | |||
| <center> | |||
| $N=mg\,cos\,\alpha$<br><br> | |||
| </center> | |||
| По Закону Амонтона — Кулона: | |||
| <center> | |||
| $F_{тр}=\mu N=\mu mg\,cos\,\alpha$<br><br> | |||
| </center> | |||
| Т.к. $\mu = tg\,\alpha$ (по условию):<br><br> | |||
| <center> | |||
| $F_{тр}=\mu mg\,cos\,\alpha$$=mg \cdot tg\,\alpha \cdot cos\,\alpha=mg\,sin\,\alpha$<br><br> | |||
| $F=mg\,sin\,\alpha$<br><br> | |||
| </center> | |||
| Перерисуем в плоскости $XY$<br><br> | |||
| <center> | |||
| В начальный момент $(\varphi=90^{\circ})$: | |||
| </center> | |||
| </p> | |||
| </div> | |||
| <center> | |||
| <div class="StatementDiv"> | |||
| <img class="Statement" src="sol3.jpg" style="max-height: 350;"> | |||
| </div> | |||
| </center> | |||
| <div class="solutions"> | |||
| <p class="TxtSolutions"> | |||
| <center> | |||
| <br> | |||
| В конечный момент $(\varphi=0^{\circ})$: | |||
| </center> | |||
| <center> | |||
| <div class="StatementDiv"> | |||
| <img class="Statement" src="sol4.jpg" style="max-height: 350;"> | |||
| </div> | |||
| </center> | |||
| </p> | |||
| </div> | |||
| <div class="solutions"> | |||
| <p class="TxtSolutions"> | |||
| <center> | |||
| <br> | |||
| Рассмотрим, произвольный момент: | |||
| </center> | |||
| <center> | |||
| <div class="StatementDiv"> | |||
| <img class="Statement" src="sol2.jpg" style="max-height: 350;"> | |||
| </div> | |||
| </center> | |||
| </p> | |||
| </div> | |||
| |
<head> | ||
| |
<meta charset="utf-8"> | ||
| Заметим, что $\varphi$ меняется от $0^{\circ}$ до $90^{\circ}$:<br><br> | <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> | ||
| Запишем второй закон Ньютона:<br><br> | <meta http-equiv="content-language" content="ru"> | ||
| |
<meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> | ||
| $\left\{\begin{matrix} | <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я."> | ||
| \frac{du_x}{dt} = \frac{F \, sin \, \varphi }{m}& \\ | <meta property="og:title" content="Решебник Савченко"> | ||
| \frac{du_y}{dt} = \frac{F (1-\, cos \, \varphi) }{m} & | <meta property="og:image" content="img/logo.png"> | ||
| \end{matrix}\right.$<br><br> | <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сборника задач Савенко О.Я."> | ||
| <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368"> | |||
| <title>Решебник Савченко</title> | |||
| <link rel="stylesheet" href="../../css/css-latex/style.css"> | |||
| <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png"> | |||
| <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script> | |||
| <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script> | |||
| <script type="text/x-mathjax-config"> | |||
| MathJax.Hub.Config({ | |||
| extensions: ['tex2jax.js'], | |||
| jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'], | |||
| tex2jax: { | |||
| inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']], | |||
| processEscapes: true, | |||
| processClass: 'tex2jax', | |||
| ignoreClass: 'html' | |||
| }, | |||
| showProcessingMessages: false, | |||
| messageStyle: 'none' | |||
| }); | |||
| </script> | |||
| </head> | |||
| <body style=""> | |||
| <header style="text-align:center;"> | |||
| <h2>Решение задач из Савченко О.Я.</h2> | |||
| <p class="author"> | |||
| Aliaksandr Melnichenka <br/> | |||
| October 2023 | |||
| </p> | |||
| </header> | |||
| |
<h3 id="back-link"><a href="../">$\leftarrow$Назад</a></h3> | ||
| \frac{d}{dt} (u \, sin\,\varphi)= \frac{F \, sin \, \varphi }{m}& \\ | |||
| \frac{d}{dt} (u \, cos\,\varphi) = \frac{F (1-\, cos \, \varphi) }{m} & | |||
| \end{matrix}\right.$<br><br> | |||
| </center> | |||
| Решаем систему дифференциальных уравнений:<br><br> | |||
| <center> | |||
| $\left\{\begin{matrix} | |||
| \frac{d\varphi}{dt} = \frac{F \, sin \, \varphi }{mu}& (a)\\ | |||
| \frac{du}{dt} = \frac{F (1-\, cos \, \varphi) }{m} & (b) | |||
| \end{matrix}\right.$<br><br> | |||
| </center> | |||
| Разделим $(b)$ на $(a)$: | |||
| <center> | |||
| $\frac{du}{d\varphi} = u\frac{1-\, cos \, \varphi}{sin \, \varphi}$<br><br> | |||
| $\frac{du}{u} = \frac{1-\, cos \, \varphi}{sin \, \varphi} d\varphi$<br><br> | |||
| $\frac{du}{u} = tg (\frac{\varphi}{2}) \, d\varphi$<br><br> | |||
| </center> | |||
| Интегрируем обе части уравнения: | |||
| <center> | |||
| <!-- $\int_{v_0}^{v}\frac{du}{u} = \int_{90^{\circ}}^{0^{\circ}}tg (\frac{\varphi}{2}) \, d\varphi \; (c)$<br><br> --> | |||
| $\int \frac{du}{u} = \int tg (\frac{\varphi}{2}) \, d\varphi \; (c)$<br><br> | |||
| $\int\frac{du}{u}=ln|u| \; (d)$<br><br> | |||
| $\int tg (\frac{\varphi}{2}) \, d\varphi=-2 ln(cos(\frac{x}{2})) \; (e)$<br><br> | |||
| </center> | |||
| Подставляем $(e)$ и $(d)$ в $(c)$: | |||
| <center> | |||
| $ln(v)+C=ln(sin(\varphi)) $$-(ln(sin(\frac{\varphi}{2})-cos(\frac{\varphi}{2})))\; (e)$<br><br> | |||
| $v_x=\frac{v}{2}$<br><br> | |||
| </center> | |||
| </p> | |||
| </div> | |||
| |
<h3> Условие: </h3> | ||
| |
|||
| |
<p> | ||
| $2.1.45^*.$ На плоскости, тангенс угла наклона которой равен коэффициенту трения, лежит монета. В горизонтальном направлении вдоль плоскости монете сообщили скорость $v$. Найдите установившуюся скорость монеты. | |||
| </p> | |||
| <h3> Решение: </h3> | |||
| <center> | |||
| <figure> | |||
| <img src="sol.jpg" | |||
| loading="lazy" width="250" /> | |||
| <figcaption> | |||
| Силы действующие на тело | |||
| </figcaption> | |||
| </figure> | |||
| </center> | |||
| <p> | |||
| Проектируем $m\vec{g}$ на $OY$: | |||
| </p> | |||
| <br> | |||
| <center> | |||
| <figure> | |||
| <img src="sol1.jpg" | |||
| loading="lazy" width="250" /> | |||
| <figcaption> | |||
| Проетируем на $OY$ | |||
| </figcaption> | |||
| </figure> | |||
| </center> | |||
| <p> | |||
| Из рисунка, найдем силу реакции опоры: | |||
| $$N=mg \cos \alpha$$ | |||
| По Закону Амонтона — Кулона: | |||
| $$F_{тр}=\mu N=\mu mg \cos \alpha$$ | |||
| Т.к. $\mu = tg \alpha$ (по условию): | |||
| $$F_{тр}=\mu mg \cos \alpha$$ | |||
| $$F_{тр}=mg \cdot tg \alpha \cdot \cos \alpha=mg \sin \alpha$$ | |||
| $$F=mg \sin \alpha$$ | |||
| Перерисуем в плоскости $XY$ | |||
| В начальный момент $(\varphi=90^{\circ})$: | |||
| </p> | |||
| <br> | |||
| <center> | |||
| <figure> | |||
| <img src="sol3.jpg" | |||
| loading="lazy" width="250" /> | |||
| <figcaption> | |||
| Рисунок в плоскости $xOy$ | |||
| </figcaption> | |||
| </figure> | |||
| </center> | |||
| <p> | |||
| В конечный момент $(\varphi=0^{\circ})$: | |||
| </p> | |||
| <br> | |||
| <center> | |||
| <figure> | |||
| <img src="sol4.jpg" | |||
| loading="lazy" width="250" /> | |||
| <figcaption> | |||
| Силы действующие на тело в конечный момент | |||
| </figcaption> | |||
| </figure> | |||
| </center> | |||
| <p> | |||
| Рассмотрим, произвольный момент: | |||
| </p> | |||
| <br> | |||
| <center> | |||
| <figure> | |||
| <img src="sol2.jpg" | |||
| loading="lazy" width="250" /> | |||
| <figcaption> | |||
| Силы действующие на тело в произвольный момент | |||
| </figcaption> | |||
| </figure> | |||
| </center> | |||
| <p> | |||
| Заметим, что $\varphi$ меняется от $0^{\circ}$ до $90^{\circ}$: | |||
| </p> | |||
| <p> | |||
| Запишем второй закон Ньютона: | |||
| $$\left\{\begin{matrix} | |||
| \frac{du_x}{dt} = \frac{F \sin \varphi }{m}& \\ | |||
| \frac{du_y}{dt} = \frac{F (1- \cos \varphi) }{m} & | |||
| \end{matrix}\right.$$ | |||
| $$\left\{\begin{matrix} | |||
| \frac{d}{dt} (u \sin \varphi)= \frac{F \sin \varphi }{m}& \\ | |||
| \frac{d}{dt} (u \cos \varphi) = \frac{F (1- \cos \varphi) }{m} & | |||
| \end{matrix}\right.$$ | |||
| Решаем систему дифференциальных уравнений: | |||
| $$\left\{\begin{matrix} | |||
| \frac{d\varphi}{dt} = \frac{F \sin \varphi }{mu}& (a)\\ | |||
| \frac{du}{dt} = \frac{F (1- \cos \varphi) }{m} & (b) | |||
| \end{matrix}\right.$$ | |||
| Разделим $(b)$ на $(a)$: | |||
| $$\frac{du}{d\varphi} = u\frac{1- \cos \varphi}{\sin \varphi}$$ | |||
| $$\frac{du}{u} = \frac{1- \cos \varphi}{\sin \varphi} d\varphi$$ | |||
| $$\frac{du}{u} = tg (\frac{\varphi}{2}) d\varphi$$ | |||
| Интегрируем обе части уравнения: | |||
| <!-- $\int_{v_0}^{v}\frac{du}{u} = \int_{90^{\circ}}^{0^{\circ}}tg (\frac{\varphi}{2}) d\varphi \; (c)$ --> | |||
| $$\int \frac{du}{u} = \int tg (\frac{\varphi}{2}) d\varphi \; (c)$$ | |||
| $$\int\frac{du}{u}=ln|u| \; (d)$$ | |||
| $$\int tg (\frac{\varphi}{2}) d\varphi=-2 ln(\cos(\frac{x}{2})) \; (e)$$ | |||
| Подставляем $(e)$ и $(d)$ в $(c)$: | |||
| <div class="scroll-wrapper"> | |||
| $$ln(v)+C=ln(\sin(\varphi)) -(ln(\sin(\frac{\varphi}{2})-\cos(\frac{\varphi}{2})))\; (e)$$ | |||
| </div> | </div> | ||
| <a href="#" class="back-to-top affix"> ↑ наверх </a> | $$v_x=\frac{v}{2}$$ | ||
| |
</p> | ||
| |
<h3> Ответ: </h3> | ||
| |
<p> | ||
| < |
$$\frac{v}{2}$$ | ||
| |
</p> | ||
| |
|||
| <small> © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, 2023-2024 <br> | |||
| </small> | |||
| </p> | <footer class="row container"> | ||
| </div> | <br> | ||
| </div> | |||
| <div class="col col-lg-6"> | <p> | ||
| <div class="footer-middle"> | <small> © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, 2023-2024 <br></small> | ||
| <p> | </p> | ||
| <small> Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> astrosander01@gmail.com <br> | <p> | ||
| <i>E = mc <sup>2</sup> | <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> astrosander01@gmail.com <br></small> | ||
| </i>. </small> | </p> | ||
| </p> | </footer> | ||
| </div> | </body> | ||
| </div> | |||
| <div class="col col-lg-3"> | |||
| <div class="footer-right"> | |||
| <div class="pull-right"></div> | |||
| </div> | |||
| </div> | |||
| </footer> | |||
| <script type="text/javascript" src="../../js/bootstrap-affix.js"></script> | |||
| <script type="text/javascript"> | |||
| $(function() { | |||
| setTimeout(function() { | |||
| $('.back-to-top').affix(); | |||
| }, 100); | |||
| }); | |||
| </script> | |||
| </body> | |||
| </html> | </html> | ||