Fixed 2.1.45 solution

astrosander edited
View solution History
revision #702 parent #684 GitHub 902a50f ← older newer →
ru/2.1.45.md +25 −4
@@ -138,7 +138,7 @@
</center>
Перерисуем в плоскости $XY$<br><br>
<center>
− В начальный момент:
+ В начальный момент $(\varphi=90^{\circ})$:
</center>
</p>
</div>
@@ -151,7 +151,7 @@
<p class="TxtSolutions">
<center>
<br>
− В конечный момент:
+ В конечный момент $(\varphi=0^{\circ})$:
</center>
<center>
<div class="StatementDiv">
@@ -189,9 +189,30 @@
\frac{d}{dt} (u \, cos\,\varphi) = \frac{F (1-\, cos \, \varphi) }{m} &
\end{matrix}\right.$<br><br>
</center>
−Решая систему дифференциальных уравнений получаем при $\varphi=0^{\circ}$:<br><br>
+Решаем систему дифференциальных уравнений:<br><br>
<center>
−$u=\frac{u_0}{2}=\frac{v}{2}$<br><br>
+ $\left\{\begin{matrix}
+\frac{d\varphi}{dt} = \frac{F \, sin \, \varphi }{mu}& (a)\\
+\frac{du}{dt} = \frac{F (1-\, cos \, \varphi) }{m} & (b)
+\end{matrix}\right.$<br><br>
+</center>
+Разделим $(b)$ на $(a)$:
+<center>
+ $\frac{du}{d\varphi} = u\frac{1-\, cos \, \varphi}{sin \, \varphi}$<br><br>
+ $\frac{du}{u} = \frac{1-\, cos \, \varphi}{sin \, \varphi} d\varphi$<br><br>
+ $\frac{du}{u} = tg (\frac{\varphi}{2}) \, d\varphi$<br><br>
+</center>
+Интегрируем обе части уравнения:
+<center>
+ <!-- $\int_{v_0}^{v}\frac{du}{u} = \int_{90^{\circ}}^{0^{\circ}}tg (\frac{\varphi}{2}) \, d\varphi \; (c)$<br><br> -->
+ $\int \frac{du}{u} = \int tg (\frac{\varphi}{2}) \, d\varphi \; (c)$<br><br>
+ $\int\frac{du}{u}=ln|u| \; (d)$<br><br>
+ $\int tg (\frac{\varphi}{2}) \, d\varphi=-2 ln(cos(\frac{x}{2})) \; (e)$<br><br>
+</center>
+Подставляем $(e)$ и $(d)$ в $(c)$:
+<center>
+ $ln(v)+C=ln(sin(\varphi)) $$-(ln(sin(\frac{\varphi}{2})-cos(\frac{\varphi}{2})))\; (e)$<br><br>
+ $v_x=\frac{v}{2}$<br><br>
</center>
</p>
</div>
unchanged lines 42