2.1.54. Электроны, движущиеся по окружности любого радиуса вокруг заряженной нити, имеют одну и ту же скорость $v$. Масса электрона $m_e$. Как зависит сила, действующая со стороны нити на электрон, от расстояния между электроном и нитью? Опишите качественно начальный отрезок траектории, по которой будет двигаться электрон, если скорость его при движении по окружности станет вдруг чуть меньше $v$? чуть больше $v$?
Решение
Силы, действующие на систему
1. Стационарная круговая орбита электрона, представляющего собой отрицательно заряженную частицу с массой покоя $m_e$, будет иметь место в случае равенства по модулю кулоновской силы притяжения и силы инерции
$$F_k=F_i$$
2. Сила инерции прямо пропорциональна квадрату линейной скорости частицы и обратно пропорциональна расстоянию до оси вращения
$$F_i=\frac{m_ev^2}{r}$$
Таким образом, сила Кулона в данном случае обратно пропорциональна расстоянию между электроном и заряженной нитью.
3. Если скорость электрона внезапно уменьшится ($v' < v$), требуемая центростремительная сила (или центробежная сила инерции) станет меньше действующей кулоновской силы притяжения:$$F_k > \frac{m_e (v')^2}{r}$$Из-за этого избытка силы притяжения электрон начнет смещаться внутрь, уменьшая радиус своей орбиты. И наоборот, если скорость внезапно увеличится, требуемая для удержания на орбите сила превысит кулоновскую, и электрон начнет удаляться от нити. Поскольку на очень малом начальном участке силовое поле можно считать практически однородным, начальные отрезки этих траекторий будут близки к параболам, касающимся исходной окружности изнутри (при уменьшении скорости) и снаружи (при увеличении скорости).
Ответ
$$F = m_ev^2/r$$
Близки к параболам, касающимся окружности изнутри; снаружи.
