| @@ -1,8 +1,8 @@ |
| ### Условие: |
| ### Условие: |
| |
| |
| $1.1.10^{∗}$ По прямому шоссе идет автобус с постоянной скоростью $v$. Вы заметили автобус, когда тот находился в некоторой точке $A$. Из какой области около шоссе вы можете догнать этот автобус, если скорость вашего бега $u < v$? Нарисуйте эту область для $u = v/2$ |
| $1.1.10^{∗}$ По прямому шоссе идет автобус с постоянной скоростью $v$. Вы заметили автобус, когда тот находился в некоторой точке $A$. Из какой области около шоссе вы можете догнать этот автобус, если скорость вашего бега $u < v$? Нарисуйте эту область для $u = v/2$ |
| |
| |
|  |
|  |
| |
| |
| ### Решение: |
| ### Решение: |
| |
| |
|  | |  |
| | | |
| Пусть автобус находится в точке $А$, а догоняющий начинает движение из точки $В$ и бежит перпендикулярно дорожному полотну $АС$. Введём обозначения: $АС = L, BC = h, AB = s.$ | | Пусть автобус находится в точке $А$, а догоняющий начинает движение из точки $В$ и бежит перпендикулярно дорожному полотну $АС$. Введём обозначения: $АС = L, BC = h, AB = s.$ |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| Из прямоугольного треугольника $АВС$ имеем | | Из прямоугольного треугольника $АВС$ имеем |
| | | |
| $$ | | $$ |
| L = s \\cdot \\cos\\frac{\\alpha}{2}\\text{ и }h = s \\cdot\\sin\\frac{\\alpha}{2} | | L = s \\cdot \\cos\\frac{\\alpha}{2}\\text{ и }h = s \\cdot\\sin\\frac{\\alpha}{2} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Время движения автобуса $t_1$ и пассажира $t_2$ до встречи в точке $С$ | | Время движения автобуса $t_1$ и пассажира $t_2$ до встречи в точке $С$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| {t}_{1}=\\frac{{L}}{{v}}=\\frac{{s}\\cos(\\alpha /2)}{{v}};\\quad{t}_{2}=\\frac{{h}}{{u}}=\\frac{{s}\\sin(\\alpha /2)}{{u}} | | {t}_{1}=\\frac{{L}}{{v}}=\\frac{{s}\\cos(\\alpha /2)}{{v}};\\quad{t}_{2}=\\frac{{h}}{{u}}=\\frac{{s}\\sin(\\alpha /2)}{{u}} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| откуда | | откуда |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \\fbox{$\\alpha = 2 \\cdot \\arctan \\frac{u}{v}$} | | \\fbox{$\\alpha = 2 \\cdot \\arctan \\frac{u}{v}$} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| ### Альтернативное решение: | | ### Альтернативное решение: |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| ### Альтернативное решение: | | ### Альтернативное решение: |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| #### Ответ: Из области, ограниченной углом $\\alpha = 2 \\,\\arcsin (u/v)$ с вершиной в точке $A$, биссектриса которого — шоссе | | #### Ответ: Из области, ограниченной углом $\\alpha = 2 \\,\\arcsin (u/v)$ с вершиной в точке $A$, биссектриса которого — шоссе |
| | | |
| | | |
