| <!DOCTYPE html> | | <!DOCTYPE html> |
| <html lang="ru"> | | <html lang="ru"> |
| | | |
| <head> | | <head> |
| <meta charset="utf-8"> | | <meta charset="utf-8"> |
| <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> | | <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> |
| <meta http-equiv="content-language" content="ru"> | | <meta http-equiv="content-language" content="ru"> |
| <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> | | <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> |
| <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я."> | | <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я."> |
| <meta property="og:title" content="Решебник Савченко"> | | <meta property="og:title" content="Решебник Савченко"> |
| <meta property="og:image" content="img/logo.png"> | | <meta property="og:image" content="img/logo.png"> |
| <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сборника задач Савенко О.Я."> | | <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сборника задач Савенко О.Я."> |
| <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368"> | | <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368"> |
| <title>Решебник Савченко</title> | | <title>Решебник Савченко</title> |
| <link rel="stylesheet" href="../../css/css-latex/style.css"> | | <link rel="stylesheet" href="../../css/css-latex/style.css"> |
| <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png"> | | <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png"> |
| <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script> | | <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script> |
| <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script> | | <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script> |
| <script type="text/x-mathjax-config"> | | <script type="text/x-mathjax-config"> |
| MathJax.Hub.Config({ | | MathJax.Hub.Config({ |
| extensions: ['tex2jax.js'], | | extensions: ['tex2jax.js'], |
| jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'], | | jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'], |
| tex2jax: { | | tex2jax: { |
| inlineMath: [['$', '$'], ['\(', '\)']], | | inlineMath: [['$', '$'], ['\(', '\)']], |
| processEscapes: true, | | processEscapes: true, |
| processClass: 'tex2jax', | | processClass: 'tex2jax', |
| ignoreClass: 'html' | | ignoreClass: 'html' |
| }, | | }, |
| showProcessingMessages: false, | | showProcessingMessages: false, |
| messageStyle: 'none' | | messageStyle: 'none' |
| }); | | }); |
| </script> | | </script> |
| </head> | | </head> |
| <body style=""> | | <body style=""> |
| <header style="text-align:center;"> | | <header style="text-align:center;"> |
| <h2>Решение задач из Савченко О.Я.</h2> | | <h2>Решение задач из Савченко О.Я.</h2> |
| <p class="author"> | | <p class="author"> |
| Aliaksandr Melnichenka <br/> | | Aliaksandr Melnichenka <br/> |
| October 2023 | | October 2023 |
| </p> | | </p> |
| </header> | | </header> |
| | | |
| <h3 id="back-link"><a href="../../ru#1.3">$\leftarrow$Назад</a></h3> | | <h3 id="back-link"><a href="../../ru#1.3">$\leftarrow$Назад</a></h3> |
| | | |
| <h3> Условие: </h3> | | <h3> Условие: </h3> |
| | | |
| <p> $1.3.18^*.$ В сферической лунке прыгает шарик, упруго ударяясь о ее стенки в двух точках, расположенных на одной горизонтали. Промежуток времени между ударами при движении шарика слева направо всегда равен $T_1$, а при движении справа налево — $T_2 \neq T_1$. Определите радиус лунки. | | <p> $1.3.18^*.$ В сферической лунке прыгает шарик, упруго ударяясь о ее стенки в двух точках, расположенных на одной горизонтали. Промежуток времени между ударами при движении шарика слева направо всегда равен $T_1$, а при движении справа налево — $T_2 \neq T_1$. Определите радиус лунки. |
| </p> | | </p> |
| <center> | | <center> |
| <figure> | | <figure> |
| <img src="statement.png" | | <img src="statement.png" |
| loading="lazy" width="200" /> | | loading="lazy" width="200" /> |
| <figcaption> | | <figcaption> |
| К задаче 1.3.18 | | К задаче 1.3.18 |
| </figcaption> | | </figcaption> |
| </figure> | | </figure> |
| </center> | | </center> |
| | | |
| <h3>Решение:</h3> | | <h3>Решение:</h3> |
| <center> | | <center> |
| <figure> | | <figure> |
| <img src="drawing.png" id="drawing" | | <img src="drawing.png" id="drawing" |
| loading="lazy" width="250" /> | | loading="lazy" width="250" /> |
| </figure> | | </figure> |
| </center> | | </center> |
| <p>a) Найдем радиус лунки, являющейся перпендикулярной к поверхности лунки в точках удара и удар абсолютно упругий, то углы между векторами скорости шарика в моменты удара и отскока одинаковы. Поэтом наша задача аналогична тому, что из точки $O$ (<a href="#drawing">см. рис.</a>) одновременно бросают два тела с равными начальными скоростями oo под углами к горизонту $\beta$ и $( \beta + 2 \alpha)$ соответственно, причем дальность полета обоих случаев одинакова.</p> | | <p>a) Найдем радиус лунки, являющейся перпендикулярной к поверхности лунки в точках удара и удар абсолютно упругий, то углы между векторами скорости шарика в моменты удара и отскока одинаковы. Поэтом наша задача аналогична тому, что из точки $O$ (<a href="#drawing">см. рис.</a>) одновременно бросают два тела с равными начальными скоростями oo под углами к горизонту $\beta$ и $( \beta + 2 \alpha)$ соответственно, причем дальность полета обоих случаев одинакова.</p> |
| <p class="exp"> | | <p class="exp"> |
| $$S = \frac{ v_{0}^{2} \sin 2 \beta }{g} = \frac{ v_{0}^{2} \sin 2 ( \beta + 2 \alpha ) }{g}$$ | | $$S = \frac{ v_{0}^{2} \sin 2 \beta }{g} = \frac{ v_{0}^{2} \sin 2 ( \beta + 2 \alpha ) }{g}$$ |
| </p> | | </p> |
| <p>Откуда получим:</p> | | <p>Откуда получим:</p> |
| <p class="exp"> | | <p class="exp"> |
| $\sin 2 \beta = \sin 2( \beta + 2 \alpha)$, или $\beta + \alpha = 45^{ \circ}$ | | $\sin 2 \beta = \sin 2( \beta + 2 \alpha)$, или $\beta + \alpha = 45^{ \circ}$ |
| </p> | | </p> |
| <p>Тогда радиус лунки можно определить как:</p> | | <p>Тогда радиус лунки можно определить как:</p> |
| <p class="exp"> | | <p class="exp"> |
| $$R= \frac{\frac{1}{2}S}{ \cos ( \beta + \alpha) } = \frac{S}{ \sqrt{2} }$$ | | $$R= \frac{\frac{1}{2}S}{ \cos ( \beta + \alpha) } = \frac{S}{ \sqrt{2} }$$ |
| </p> | | </p> |
| <p>Для определения дальности полета $S$ запишем уравнения движения тела в проекции на ось $Ox$ системы координат:</p> | | <p>Для определения дальности полета $S$ запишем уравнения движения тела в проекции на ось $Ox$ системы координат:</p> |
| <p class="exp"> | | <p class="exp"> |
| $$x_{1} = v_{0} \cos \beta t - \frac{1}{2} gt^{2}, x_{2} = v_{0} \cos ( \beta + 2 \alpha)t - \frac{1}{2} gt^{2}$$ | | $$x_{1} = v_{0} \cos \beta t - \frac{1}{2} gt^{2}, x_{2} = v_{0} \cos ( \beta + 2 \alpha)t - \frac{1}{2} gt^{2}$$ |
| </p> | | </p> |
| <p>В моменты времени $T_{1}$ и $T_{2}$ координаты $x_{1}$ и $x_{2}$ становятся равны нулю. Поэтому:</p> | | <p>В моменты времени $T_{1}$ и $T_{2}$ координаты $x_{1}$ и $x_{2}$ становятся равны нулю. Поэтому:</p> |
| <p class="exp"> | | <p class="exp"> |
| $0 = v_{0} \cos \beta T_{1} - 1 /2 gT_{1}^{2}$ | | $0 = v_{0} \cos \beta T_{1} - 1 /2 gT_{1}^{2}$ |
| </p><p class="exp"> | | </p><p class="exp"> |
| $$0 = v_{0} \cos( \beta + 2 \alpha) T_{2} - \frac{1}{2} gT_{2}^{2}$$ | | $$0 = v_{0} \cos( \beta + 2 \alpha) T_{2} - \frac{1}{2} gT_{2}^{2}$$ |
| </p> | | </p> |
| <p>или с учетом, что $\alpha = 45^{ \circ} - \beta$:</p> | | <p>или с учетом, что $\alpha = 45^{ \circ} - \beta$:</p> |
| <p class="exp"> | | <p class="exp"> |
| $$v_{0} \cos \beta = \frac{1}{2} gT_{1}, v_{0} \sin \beta = \frac{1}{2} gT_{2}$$ | | $$v_{0} \cos \beta = \frac{1}{2} gT_{1}, v_{0} \sin \beta = \frac{1}{2} gT_{2}$$ |
| </p> | | </p> |
| <p>Перемножая последние соотношения, получим:</p> | | <p>Перемножая последние соотношения, получим:</p> |
| <p class="exp"> | | <p class="exp"> |
| $$v_{0}^{2} \sin \beta \cos \beta = \frac{1}{4} g^{4}T_{1}T_{2}$$ | | $$v_{0}^{2} \sin \beta \cos \beta = \frac{1}{4} g^{4}T_{1}T_{2}$$ |
| </p> | | </p> |
| <p>Следовательно, дальность полета равна:</p> | | <p>Следовательно, дальность полета равна:</p> |
| <p class="exp"> | | <p class="exp"> |
| $$S = \frac{v_{0}^{2} \sin 2 \beta }{g} = \frac{gT_{1}T_{2} }{2}$$ | | $$S = \frac{v_{0}^{2} \sin 2 \beta }{g} = \frac{gT_{1}T_{2} }{2}$$ |
| </p> | | </p> |
| <p>а радиус лунки:</p> | | <p>а радиус лунки:</p> |
| <p class="exp"> | | <p class="exp"> |
| $$R = \frac{S}{ \sqrt{2}} = \frac{gT_{1}T_{2} }{2 \sqrt{2} }$$ | | $$R = \frac{S}{ \sqrt{2}} = \frac{gT_{1}T_{2} }{2 \sqrt{2} }$$ |
| </p> | | </p> |
| <h4> | | <h4> |
| Ответ: $R = gT_1T_2/(2\sqrt{2})$ | | Ответ: $R = gT_1T_2/(2\sqrt{2})$ |
| </h4> | | </h4> |
| | | |
| <h3> Альтернативное решение: </h3> | | <h3> Альтернативное решение: </h3> |
| <div class="video-container"> | | <div class="video-container"> |
| <iframe class="video" src="https://www.youtube.com/embed/-BVTki6YyRs" frameborder="0" allowfullscreen></iframe> | | <iframe class="video" src="https://www.youtube.com/embed/-BVTki6YyRs" frameborder="0" allowfullscreen></iframe> |
| </div> | | </div> |
