Updated 9.1.10-9.1.15
ru/9.1.11.md
+98 −140
| @@ -1,46 +1,40 @@ | |||
| − | <html> | ||
| − | |||
| − | <title>Решебник Савченко</title> | ||
| − | |||
| − | <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> | ||
| − | <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я."> | ||
| − | <meta http-equiv="content-language" content="ru"> | ||
| − | <meta charset="utf-8"> | ||
| − | <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> | ||
| − | <meta property="og:title" content="Решебник Савченко"/> | ||
| − | <meta property="og:image" content="img/logo.png"> | ||
| − | <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сбоника задач Савенко О.Я."> | ||
| − | <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368" /> | ||
| + | <!DOCTYPE html> | ||
| + | <html lang="ru"> | ||
| − | <link rel="stylesheet" type="text/css" href="../../css/css-latex/style.css"> | ||
| − | <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png" /> | ||
| − | |||
| − | <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script> | ||
| − | |||
| − | <script type="text/javascript" async | ||
| − | src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"> | ||
| − | </script> | ||
| − | |||
| − | <!-- MathJax configuration --> | ||
| − | <script type="text/x-mathjax-config"> | ||
| − | MathJax.Hub.Config({ | ||
| − | extensions: ['tex2jax.js'], | ||
| − | jax: ['input/TeX','output/HTML-CSS'], | ||
| − | tex2jax: { | ||
| − | inlineMath: [ ['$','$'], ['\\(','\\)'] ], | ||
| − | processEscapes: true, | ||
| − | processClass: 'tex2jax', | ||
| − | ignoreClass: 'html' | ||
| − | }, | ||
| − | showProcessingMessages: false, | ||
| − | messageStyle: 'none' | ||
| − | }); | ||
| − | </script> | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | <div class="container row"> | ||
| − | |||
| + | <head> | ||
| + | <meta charset="utf-8"> | ||
| + | <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> | ||
| + | <meta http-equiv="content-language" content="ru"> | ||
| + | <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> | ||
| + | <meta name="description" content="а) Проволочная рамка в виде окружности с током может вращаться вокруг горизонтальной оси OO^\prime. Масса единицы длины проволоки \rho, ток в рамке I. Рамка находится в магнитном поле индукции B, направленном вдоль поля тяжести. Определите угол отклонения плоскости окружности от вертикали. б) Проволочная рамка в виде окружности имеет по диаметру проволочную перемычку, параллельную горизонтальной оси OO^\prime , вокруг которой рамка может вращаться. Масса единицы длины рамки и перемычки одинакова и равна \rho. Ток, входящий в рамку, равен I. Рамка находится в магнитном поле индукции B, направленном параллельно полю тяжести. На какой угол от вертикали отклонится рамка?"> | ||
| + | <meta name="author" content="Aliaksandr Melnichenka"> | ||
| + | <meta name="date" content="2023-10" scheme="YYYY-MM"> | ||
| + | <meta property="og:title" content="а) Проволочная рамка в виде окружности с током может вращаться вокруг горизонтальной оси OO^\prime. Масса единицы длины проволоки \rho, ток в рамке I. Рамка находится в магнитном поле индукции B, направленном вдоль поля тяжести. Определите угол отклонения плоскости окружности от вертикали. б) Проволочная рамка в виде окружности имеет по диаметру проволочную перемычку, параллельную горизонтальной оси OO^\prime , вокруг которой рамка может вращаться. Масса единицы длины рамки и перемычки одинакова и равна \rho. Ток, входящий в рамку, равен I. Рамка находится в магнитном поле индукции B, направленном параллельно полю тяжести. На какой угол от вертикали отклонится рамка?"> | ||
| + | <meta property="og:image" content="img/logo.png"> | ||
| + | <meta property="og:description" content="а) Проволочная рамка в виде окружности с током может вращаться вокруг горизонтальной оси OO^\prime. Масса единицы длины проволоки \rho, ток в рамке I. Рамка находится в магнитном поле индукции B, направленном вдоль поля тяжести. Определите угол отклонения плоскости окружности от вертикали. б) Проволочная рамка в виде окружности имеет по диаметру проволочную перемычку, параллельную горизонтальной оси OO^\prime , вокруг которой рамка может вращаться. Масса единицы длины рамки и перемычки одинакова и равна \rho. Ток, входящий в рамку, равен I. Рамка находится в магнитном поле индукции B, направленном параллельно полю тяжести. На какой угол от вертикали отклонится рамка?"> | ||
| + | <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368"> | ||
| + | <title>а) Проволочная рамка в виде окружности с током может вращаться вокруг горизонтальной оси OO^\prime. Масса единицы длины проволоки \rho, ток в рамке I. Рамка находится в магнитном поле индукции B, направленном вдоль поля тяжести. Определите угол отклонения плоскости окружности от вертикали. б) Проволочная рамка в виде окружности имеет по диаметру проволочную перемычку, параллельную горизонтальной оси OO^\prime , вокруг которой рамка может вращаться. Масса единицы длины рамки и перемычки одинакова и равна \rho. Ток, входящий в рамку, равен I. Рамка находится в магнитном поле индукции B, направленном параллельно полю тяжести. На какой угол от вертикали отклонится рамка?</title> | ||
| + | <link rel="stylesheet" href="https://savchenkosolutions.com/css/css-latex/style.css"> | ||
| + | <link rel="icon" href="https://savchenkosolutions.com/img/logo.png" type="image/png"> | ||
| + | <script src="https://savchenkosolutions.com/js/jquery-1.10.1.min.js"></script> | ||
| + | <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script> | ||
| + | <script type="text/x-mathjax-config"> | ||
| + | MathJax.Hub.Config({ | ||
| + | extensions: ['tex2jax.js'], | ||
| + | jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'], | ||
| + | tex2jax: { | ||
| + | inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']], | ||
| + | processEscapes: true, | ||
| + | processClass: 'tex2jax', | ||
| + | ignoreClass: 'html' | ||
| + | }, | ||
| + | showProcessingMessages: false, | ||
| + | messageStyle: 'none' | ||
| + | }); | ||
| + | </script> | ||
| + | </head> | ||
| + | <body style=""> | ||
| + | <header style="text-align:center;"> | ||
| <a href="../../" style="text-decoration: none;"> | |||
| <div id="logo"> | |||
| <span><img src="../../img/book.png"></span><span>Savchenko Solutions</span> | |||
| </div> | |||
| </a> | |||
| <p class="author"> | |||
| @@ -50,109 +44,73 @@ | |||
| Solutions of Savchenko Problems in Physics <br> | |||
| <i><b>knowledge must be free</b></i> | |||
| </p> | |||
| − | | ||
| − | </div> | ||
| − | |||
| − | <div id="main" class="col col-lg-9"> | ||
| − | <div class="row"> | ||
| − | <div class="col caption"> | ||
| − | <h2> | ||
| − | <a href="../../ru#9.1">←Назад</a> | ||
| − | </h2> | ||
| − | </div> | ||
| − | </div> | ||
| + | </header> | ||
| + | <h3 id="back-link"><a href="../../ru#9.1">$\leftarrow$Назад</a></h3> | ||
| − | |||
| + | <h3> Условие </h3> | ||
| + | <p> | ||
| + | $9.1.11.$ а) Проволочная рамка в виде окружности с током может вращаться вокруг горизонтальной оси $OO^\prime$. Масса единицы длины проволоки $\rho$, ток в рамке $I$. Рамка находится в магнитном поле индукции B, направленном вдоль поля тяжести. Определите угол отклонения плоскости окружности от вертикали. </p><p> | ||
| + | б) Проволочная рамка в виде окружности имеет по диаметру проволочную перемычку, параллельную горизонтальной оси $OO^\prime$ , вокруг которой рамка может вращаться. Масса единицы длины рамки и перемычки одинакова и равна $\rho$. Ток, входящий в рамку, равен $I$. Рамка находится в магнитном поле индукции $B$, направленном параллельно полю тяжести. На какой угол от вертикали отклонится рамка? | ||
| + | </p> | ||
| + | <center> | ||
| + | <figure> | ||
| + | <img src="statement.png" | ||
| + | loading="lazy" width="380" /> | ||
| + | <figcaption> | ||
| + | К задаче $9.1.11$ | ||
| + | </figcaption> | ||
| + | </figure> | ||
| + | </center> | ||
| + | <p> | ||
| + | </p> | ||
| − | <div class="col col-lg-12"> | ||
| − | |||
| − | |||
| − | </h3> | ||
| − | <div class="task"> | ||
| − | <p> | ||
| − | \(9.1.11.\) | ||
| − | а) Проволочная рамка в виде окружности с током может вращаться вокруг горизонтальной оси $OO^\prime$. Масса единицы длины проволоки $\rho$, ток в рамке I. Рамка находится в магнитном поле индукции B, направленном вдоль поля тяжести. Определите угол отклонения плоскости окружности от вертикали. <br><br> | ||
| − | б) Проволочная рамка в виде окружности имеет по диаметру проволочную перемычку, параллельную горизонтальной оси $OO^\prime$ , вокруг которой рамка может вращаться. Масса единицы длины рамки и перемычки одинакова и равна $\rho$. Ток, входящий в рамку, равен I. Рамка находится в магнитном поле индукции B, направленном параллельно полю тяжести. На какой угол от вертикали отклонится рамка?<br><br> | ||
| − | </p> | ||
| − | <div class="StatementDiv"> | ||
| − | <img class="Statement" src="statement.png" alt="9.1.11"> | ||
| − | </div> | ||
| − | </div> | ||
| − | <hr> | ||
| − | <h3> | ||
| − | Решение: | ||
| − | </h3> | ||
| + | <h3>Решение</h3> | ||
| + | <p> | ||
| + | а) Используя выражение для момента силы магнитного поля, полученного в <a href="../9.1.10">9.1.10</a>, $\vec{N} = [\vec{M} \times \vec{B}]$ получаем | ||
| + | $$N = BIS\cdot \cos \alpha = \pi R^2BI \cdot \cos \alpha$$ | ||
| + | при этом момент силы тяжести: | ||
| + | $$M_{mg} = Rmg\cdot \cos \alpha = 2\pi R^2\rho g\cdot \sin \alpha$$ | ||
| + | эти моменты равны: | ||
| + | $$2\pi R^2\rho g \cdot \sin \alpha = \pi BI R^2 \cdot \cos \alpha$$ | ||
| + | после преобразований, получаем | ||
| + | $$\boxed{\tan\alpha = \frac{BI}{2\rho g}}$$ | ||
| + | б) Найдём момент силы тяжести: | ||
| + | $$M_{mg} = mgR\cdot \sin \alpha = (2\pi R + 2R)\rho gR \cdot \sin \alpha $$ | ||
| + | $$M_{mg} = 2R^2\rho g(1+\pi) \cdot \sin \alpha$$ | ||
| + | Теперь, изначальный контур представим как два наложенных контура с токами $I_1$ и $I_2$ такими что, $I = I_1 + I_2$, контур с $I_2$ — это полуокружность с перегородкой, контур с $I_1$ — это кольцо без перегородки, тогда из параллельного соединения следует что: $I_1\cdot \pi R = I_2 \cdot 2R$ тогда | ||
| + | $$I_1 = I_2\cdot \frac{2}{\pi}$$ | ||
| + | $$I = I_1 + I_2 = I_2\left(1+\frac{2}{\pi}\right)$$ | ||
| + | $$I_1 = I\cdot \frac{2}{\pi+2}; \quad $$ | ||
| + | Тогда моменты для этих контуров: | ||
| + | $$M_{k1} = BS_1\cdot \cos \alpha =\pi R^2I\cdot \frac{2}{\pi+2}B\cdot \cos \alpha$$ | ||
| + | $$M_{k2} = BS_2\cdot \cos \alpha = \frac{1}{2}\pi R^2I\cdot \frac{\pi}{\pi+2}B\cdot \cos \alpha$$ | ||
| + | Суммарный момент контуров: | ||
| + | $$M_k = \frac{1}{2}\pi R^2 BI \cdot \cos \alpha \cdot \frac{\pi + 4}{\pi +2}$$ | ||
| + | Приравняем этот момент и момент силы тяжести: | ||
| + | $$\frac{1}{2}\pi R^2 BI \cdot \cos \alpha \cdot \frac{\pi + 4}{\pi +2} = 2R^2\rho g(1+\pi) \cdot \sin \alpha$$ | ||
| + | отсюда | ||
| + | $$\boxed{\tan\alpha = \frac{\pi(\pi+4)}{4(\pi+2)(\pi+1)} \cdot \frac{BI}{\rho g}}$$ | ||
| + | </p> | ||
| − | | ||
| − | <p class="TxtSolutions"> | ||
| − | а) Используя $\vec{N} $$= [\vec{M} \times \vec{B}]$ получим $N $$= BIS\cdot cos(\alpha) $$= \pi BI R^2 \cdot cos(\alpha)$ момент силы тяжести: $M_{mg} $$= Rmg\cdot cos(\alpha) $$= 2\pi R^2\rho g\cdot sin(\alpha)$ эти моменты равны: $2\pi R^2\rho g \cdot sin(\alpha) $$= \pi BI R^2 \cdot cos(\alpha)$ | ||
| − | тогда $tg(\alpha) $$= \frac{BI}{2\rho g}$ <br><br> | ||
| − | Ответ: \fbox{$tg(\alpha) $$= \frac{BI}{2\rho g}$} <br><br> | ||
| − | б) Найдём момент силы тяжести: $M_{mg} $$= mgR\cdot sin(\alpha) = (2\pi R + 2R)\rho gR \cdot sin(\alpha) $$= 2R^2\rho g(1+\pi) \cdot sin(\alpha)$ | ||
| − | Теперь изначальный контур представим как два наложенных контура с токами $I_1$ и $I_2$ такими что, $I_1 + I_2 $$= I$ , контур с $I_2$ - это полуокружность с перегородкой, контур с $I_1$ - это кольцо без перегородки. тогда из параллельного соединения следует что: $I_1\cdot \pi R = I_2 \cdot 2R$ тогда $I_1 $$= I_2\cdot \frac{2}{\pi}$; <br><br> | ||
| − | $I = I_1 + I_2 $$= I_2(1+\frac{2}{\pi}) \Rightarrow I_2 = I\cdot \frac{\pi}{\pi+2}, I_1 $$= I\cdot \frac{2}{\pi+2}$ <br><br> | ||
| − | Тогда моменты для этих контуров: $M_{k2} = BS_2\cdot cos(\alpha) $$= \frac{1}{2}\pi R^2I\cdot \frac{\pi}{\pi+2}B\cdot cos(\alpha)$ | ||
| − | $M_{k1} $$= BS_1\cdot cos(\alpha) $$=\pi R^2I\cdot \frac{2}{\pi+2}B\cdot cos(\alpha)$ | ||
| − | Суммарный момент контуров: $M_k = \frac{1}{2}\pi R^2 BI \cdot cos(\alpha) \cdot \frac{\pi + 4}{\pi +2}$ <br><br> | ||
| − | Приравняем этот момент и момент силы тяжести: | ||
| − | $\frac{1}{2}\pi R^2 BI \cdot cos(\alpha) \cdot \frac{\pi + 4}{\pi +2} $$= 2R^2\rho g(1+\pi) \cdot sin(\alpha)$ отсюда <br><br> | ||
| − | $tg(\alpha) $$= \frac{\pi(\pi+4)}{4(\pi+2)(\pi+1)} \cdot \frac{BI}{\rho g}$ <br><br> | ||
| − | |||
| − | </div> | ||
| + | <h4>Ответ</h4> | ||
| + | <p> | ||
| + | $$\tan\alpha = \frac{\pi(\pi+4)}{4(\pi+2)(\pi+1)} \cdot \frac{BI}{\rho g}$$ | ||
| + | </p> | ||
| + | <p style="text-align: right; font-style: italic; font-size: 14;"> | ||
| + | Andrei Yersh<br> | ||
| + | </p> | ||
| − | <h3> | ||
| − | Ответ: $\fbox{$tg(\alpha) = \frac{\pi(\pi+4)}{4(\pi+2)(\pi+1)} \cdot \frac{BI}{\rho g}$}$ | ||
| − | |||
| − | </h3> | ||
| − | </div> | ||
| − | |||
| + | <footer class="row container"> | ||
| + | <br> | ||
| + | <p> | ||
| + | <small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small> | ||
| + | </p> | ||
| + | <p> | ||
| + | <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small> | ||
| + | </p> | ||
| + | </footer> | ||
| + | </body> | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | </div> <footer class="row container"> | ||
| − | <div class="col col-lg-3"> | ||
| − | <div class="footer-left"> | ||
| − | <p> | ||
| − | <small> | ||
| − | © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, 2023-2024<br><br> | ||
| − | </small> | ||
| − | </p> | ||
| − | </div> | ||
| − | </div> | ||
| − | <div class="col col-lg-6"> | ||
| − | <div class="footer-middle"> | ||
| − | <p> | ||
| − | <small> | ||
| − | Все права принадлежат авторам.<br><br> | ||
| − | Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов.<br><br> | ||
| − | alex@savchenkosolutions.com<br><br> | ||
| − | <i>E = mc<sup>2</sup></i>. | ||
| − | </small> | ||
| − | </p> | ||
| − | </div> | ||
| − | </div> | ||
| − | <div class="col col-lg-3"> | ||
| − | <div class="footer-right"> | ||
| − | <div class="pull-right"> | ||
| − | </div> | ||
| − | </div> | ||
| − | </div> | ||
| − | </footer> | ||
| − | |||
| − | <script type="text/javascript" src="../../js/bootstrap-affix.js"></script> | ||
| − | <script type="text/javascript"> | ||
| − | $(function(){ | ||
| − | setTimeout(function () { | ||
| − | $('.back-to-top').affix(); | ||
| − | }, 100); | ||
| − | |||
| − | }); | ||
| − | </script> | ||
| − | |||
| − | |||
| − | </body> | ||
| </html> | |||
| @@ -1,46 +1,40 @@ | |||
| <html> | <!DOCTYPE html> | ||
| <html lang="ru"> | |||
| <title>Решебник Савченко</title> | |||
| <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> | |||
| <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я."> | |||
| <meta http-equiv="content-language" content="ru"> | |||
| <meta charset="utf-8"> | |||
| <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> | |||
| <meta property="og:title" content="Решебник Савченко"/> | |||
| <meta property="og:image" content="img/logo.png"> | |||
| <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сбоника задач Савенко О.Я."> | |||
| <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368" /> | |||
| <link rel="stylesheet" type="text/css" href="../../css/css-latex/style.css"> | <head> | ||
| <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png" /> | <meta charset="utf-8"> | ||
| <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> | |||
| <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script> | <meta http-equiv="content-language" content="ru"> | ||
| <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> | |||
| <script type="text/javascript" async | <meta name="description" content="а) Проволочная рамка в виде окружности с током может вращаться вокруг горизонтальной оси OO^\prime. Масса единицы длины проволоки \rho, ток в рамке I. Рамка находится в магнитном поле индукции B, направленном вдоль поля тяжести. Определите угол отклонения плоскости окружности от вертикали. б) Проволочная рамка в виде окружности имеет по диаметру проволочную перемычку, параллельную горизонтальной оси OO^\prime , вокруг которой рамка может вращаться. Масса единицы длины рамки и перемычки одинакова и равна \rho. Ток, входящий в рамку, равен I. Рамка находится в магнитном поле индукции B, направленном параллельно полю тяжести. На какой угол от вертикали отклонится рамка?"> | ||
| src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"> | <meta name="author" content="Aliaksandr Melnichenka"> | ||
| </script> | <meta name="date" content="2023-10" scheme="YYYY-MM"> | ||
| <meta property="og:title" content="а) Проволочная рамка в виде окружности с током может вращаться вокруг горизонтальной оси OO^\prime. Масса единицы длины проволоки \rho, ток в рамке I. Рамка находится в магнитном поле индукции B, направленном вдоль поля тяжести. Определите угол отклонения плоскости окружности от вертикали. б) Проволочная рамка в виде окружности имеет по диаметру проволочную перемычку, параллельную горизонтальной оси OO^\prime , вокруг которой рамка может вращаться. Масса единицы длины рамки и перемычки одинакова и равна \rho. Ток, входящий в рамку, равен I. Рамка находится в магнитном поле индукции B, направленном параллельно полю тяжести. На какой угол от вертикали отклонится рамка?"> | |||
| <!-- MathJax configuration --> | <meta property="og:image" content="img/logo.png"> | ||
| <script type="text/x-mathjax-config"> | <meta property="og:description" content="а) Проволочная рамка в виде окружности с током может вращаться вокруг горизонтальной оси OO^\prime. Масса единицы длины проволоки \rho, ток в рамке I. Рамка находится в магнитном поле индукции B, направленном вдоль поля тяжести. Определите угол отклонения плоскости окружности от вертикали. б) Проволочная рамка в виде окружности имеет по диаметру проволочную перемычку, параллельную горизонтальной оси OO^\prime , вокруг которой рамка может вращаться. Масса единицы длины рамки и перемычки одинакова и равна \rho. Ток, входящий в рамку, равен I. Рамка находится в магнитном поле индукции B, направленном параллельно полю тяжести. На какой угол от вертикали отклонится рамка?"> | ||
| MathJax.Hub.Config({ | <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368"> | ||
| extensions: ['tex2jax.js'], | <title>а) Проволочная рамка в виде окружности с током может вращаться вокруг горизонтальной оси OO^\prime. Масса единицы длины проволоки \rho, ток в рамке I. Рамка находится в магнитном поле индукции B, направленном вдоль поля тяжести. Определите угол отклонения плоскости окружности от вертикали. б) Проволочная рамка в виде окружности имеет по диаметру проволочную перемычку, параллельную горизонтальной оси OO^\prime , вокруг которой рамка может вращаться. Масса единицы длины рамки и перемычки одинакова и равна \rho. Ток, входящий в рамку, равен I. Рамка находится в магнитном поле индукции B, направленном параллельно полю тяжести. На какой угол от вертикали отклонится рамка?</title> | ||
| jax: ['input/TeX','output/HTML-CSS'], | <link rel="stylesheet" href="https://savchenkosolutions.com/css/css-latex/style.css"> | ||
| tex2jax: { | <link rel="icon" href="https://savchenkosolutions.com/img/logo.png" type="image/png"> | ||
| inlineMath: [ ['$','$'], ['\\(','\\)'] ], | <script src="https://savchenkosolutions.com/js/jquery-1.10.1.min.js"></script> | ||
| processEscapes: true, | <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script> | ||
| processClass: 'tex2jax', | <script type="text/x-mathjax-config"> | ||
| ignoreClass: 'html' | MathJax.Hub.Config({ | ||
| }, | extensions: ['tex2jax.js'], | ||
| showProcessingMessages: false, | jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'], | ||
| messageStyle: 'none' | tex2jax: { | ||
| }); | inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']], | ||
| </script> | processEscapes: true, | ||
| processClass: 'tex2jax', | |||
| ignoreClass: 'html' | |||
| }, | |||
| <div class="container row"> | showProcessingMessages: false, | ||
| messageStyle: 'none' | |||
| }); | |||
| </script> | |||
| </head> | |||
| <body style=""> | |||
| <header style="text-align:center;"> | |||
| <a href="../../" style="text-decoration: none;"> | <a href="../../" style="text-decoration: none;"> | ||
| <div id="logo"> | <div id="logo"> | ||
| <span><img src="../../img/book.png"></span><span>Savchenko Solutions</span> | <span><img src="../../img/book.png"></span><span>Savchenko Solutions</span> | ||
| </div> | </div> | ||
| </a> | </a> | ||
| <p class="author"> | <p class="author"> | ||
| @@ -50,109 +44,73 @@ | |||
| Solutions of Savchenko Problems in Physics <br> | Solutions of Savchenko Problems in Physics <br> | ||
| <i><b>knowledge must be free</b></i> | <i><b>knowledge must be free</b></i> | ||
| </p> | </p> | ||
| |
</header> | ||
| </div> | |||
| <div id="main" class="col col-lg-9"> | |||
| <div class="row"> | |||
| <div class="col caption"> | |||
| <h2> | |||
| <a href="../../ru#9.1">←Назад</a> | |||
| </h2> | |||
| </div> | |||
| </div> | |||
| <h3 id="back-link"><a href="../../ru#9.1">$\leftarrow$Назад</a></h3> | |||
| <h3> Условие </h3> | |||
| <p> | |||
| $9.1.11.$ а) Проволочная рамка в виде окружности с током может вращаться вокруг горизонтальной оси $OO^\prime$. Масса единицы длины проволоки $\rho$, ток в рамке $I$. Рамка находится в магнитном поле индукции B, направленном вдоль поля тяжести. Определите угол отклонения плоскости окружности от вертикали. </p><p> | |||
| б) Проволочная рамка в виде окружности имеет по диаметру проволочную перемычку, параллельную горизонтальной оси $OO^\prime$ , вокруг которой рамка может вращаться. Масса единицы длины рамки и перемычки одинакова и равна $\rho$. Ток, входящий в рамку, равен $I$. Рамка находится в магнитном поле индукции $B$, направленном параллельно полю тяжести. На какой угол от вертикали отклонится рамка? | |||
| </p> | |||
| <center> | |||
| <figure> | |||
| <img src="statement.png" | |||
| loading="lazy" width="380" /> | |||
| <figcaption> | |||
| К задаче $9.1.11$ | |||
| </figcaption> | |||
| </figure> | |||
| </center> | |||
| <p> | |||
| </p> | |||
| <div class="col col-lg-12"> | <h3>Решение</h3> | ||
| <p> | |||
| а) Используя выражение для момента силы магнитного поля, полученного в <a href="../9.1.10">9.1.10</a>, $\vec{N} = [\vec{M} \times \vec{B}]$ получаем | |||
| </h3> | $$N = BIS\cdot \cos \alpha = \pi R^2BI \cdot \cos \alpha$$ | ||
| <div class="task"> | при этом момент силы тяжести: | ||
| <p> | $$M_{mg} = Rmg\cdot \cos \alpha = 2\pi R^2\rho g\cdot \sin \alpha$$ | ||
| \(9.1.11.\) | эти моменты равны: | ||
| а) Проволочная рамка в виде окружности с током может вращаться вокруг горизонтальной оси $OO^\prime$. Масса единицы длины проволоки $\rho$, ток в рамке I. Рамка находится в магнитном поле индукции B, направленном вдоль поля тяжести. Определите угол отклонения плоскости окружности от вертикали. <br><br> | $$2\pi R^2\rho g \cdot \sin \alpha = \pi BI R^2 \cdot \cos \alpha$$ | ||
| б) Проволочная рамка в виде окружности имеет по диаметру проволочную перемычку, параллельную горизонтальной оси $OO^\prime$ , вокруг которой рамка может вращаться. Масса единицы длины рамки и перемычки одинакова и равна $\rho$. Ток, входящий в рамку, равен I. Рамка находится в магнитном поле индукции B, направленном параллельно полю тяжести. На какой угол от вертикали отклонится рамка?<br><br> | после преобразований, получаем | ||
| </p> | $$\boxed{\tan\alpha = \frac{BI}{2\rho g}}$$ | ||
| <div class="StatementDiv"> | б) Найдём момент силы тяжести: | ||
| <img class="Statement" src="statement.png" alt="9.1.11"> | $$M_{mg} = mgR\cdot \sin \alpha = (2\pi R + 2R)\rho gR \cdot \sin \alpha $$ | ||
| </div> | $$M_{mg} = 2R^2\rho g(1+\pi) \cdot \sin \alpha$$ | ||
| </div> | Теперь, изначальный контур представим как два наложенных контура с токами $I_1$ и $I_2$ такими что, $I = I_1 + I_2$, контур с $I_2$ — это полуокружность с перегородкой, контур с $I_1$ — это кольцо без перегородки, тогда из параллельного соединения следует что: $I_1\cdot \pi R = I_2 \cdot 2R$ тогда | ||
| <hr> | $$I_1 = I_2\cdot \frac{2}{\pi}$$ | ||
| <h3> | $$I = I_1 + I_2 = I_2\left(1+\frac{2}{\pi}\right)$$ | ||
| Решение: | $$I_1 = I\cdot \frac{2}{\pi+2}; \quad $$ | ||
| </h3> | Тогда моменты для этих контуров: | ||
| $$M_{k1} = BS_1\cdot \cos \alpha =\pi R^2I\cdot \frac{2}{\pi+2}B\cdot \cos \alpha$$ | |||
| $$M_{k2} = BS_2\cdot \cos \alpha = \frac{1}{2}\pi R^2I\cdot \frac{\pi}{\pi+2}B\cdot \cos \alpha$$ | |||
| Суммарный момент контуров: | |||
| $$M_k = \frac{1}{2}\pi R^2 BI \cdot \cos \alpha \cdot \frac{\pi + 4}{\pi +2}$$ | |||
| Приравняем этот момент и момент силы тяжести: | |||
| $$\frac{1}{2}\pi R^2 BI \cdot \cos \alpha \cdot \frac{\pi + 4}{\pi +2} = 2R^2\rho g(1+\pi) \cdot \sin \alpha$$ | |||
| отсюда | |||
| $$\boxed{\tan\alpha = \frac{\pi(\pi+4)}{4(\pi+2)(\pi+1)} \cdot \frac{BI}{\rho g}}$$ | |||
| </p> | |||
| |
<h4>Ответ</h4> | ||
| <p class="TxtSolutions"> | <p> | ||
| а) Используя $\vec{N} $$= [\vec{M} \times \vec{B}]$ получим $N $$= BIS\cdot cos(\alpha) $$= \pi BI R^2 \cdot cos(\alpha)$ момент силы тяжести: $M_{mg} $$= Rmg\cdot cos(\alpha) $$= 2\pi R^2\rho g\cdot sin(\alpha)$ эти моменты равны: $2\pi R^2\rho g \cdot sin(\alpha) $$= \pi BI R^2 \cdot cos(\alpha)$ | $$\tan\alpha = \frac{\pi(\pi+4)}{4(\pi+2)(\pi+1)} \cdot \frac{BI}{\rho g}$$ | ||
| тогда $tg(\alpha) $$= \frac{BI}{2\rho g}$ <br><br> | </p> | ||
| Ответ: \fbox{$tg(\alpha) $$= \frac{BI}{2\rho g}$} <br><br> | <p style="text-align: right; font-style: italic; font-size: 14;"> | ||
| б) Найдём момент силы тяжести: $M_{mg} $$= mgR\cdot sin(\alpha) = (2\pi R + 2R)\rho gR \cdot sin(\alpha) $$= 2R^2\rho g(1+\pi) \cdot sin(\alpha)$ | Andrei Yersh<br> | ||
| Теперь изначальный контур представим как два наложенных контура с токами $I_1$ и $I_2$ такими что, $I_1 + I_2 $$= I$ , контур с $I_2$ - это полуокружность с перегородкой, контур с $I_1$ - это кольцо без перегородки. тогда из параллельного соединения следует что: $I_1\cdot \pi R = I_2 \cdot 2R$ тогда $I_1 $$= I_2\cdot \frac{2}{\pi}$; <br><br> | </p> | ||
| $I = I_1 + I_2 $$= I_2(1+\frac{2}{\pi}) \Rightarrow I_2 = I\cdot \frac{\pi}{\pi+2}, I_1 $$= I\cdot \frac{2}{\pi+2}$ <br><br> | |||
| Тогда моменты для этих контуров: $M_{k2} = BS_2\cdot cos(\alpha) $$= \frac{1}{2}\pi R^2I\cdot \frac{\pi}{\pi+2}B\cdot cos(\alpha)$ | |||
| $M_{k1} $$= BS_1\cdot cos(\alpha) $$=\pi R^2I\cdot \frac{2}{\pi+2}B\cdot cos(\alpha)$ | |||
| Суммарный момент контуров: $M_k = \frac{1}{2}\pi R^2 BI \cdot cos(\alpha) \cdot \frac{\pi + 4}{\pi +2}$ <br><br> | |||
| Приравняем этот момент и момент силы тяжести: | |||
| $\frac{1}{2}\pi R^2 BI \cdot cos(\alpha) \cdot \frac{\pi + 4}{\pi +2} $$= 2R^2\rho g(1+\pi) \cdot sin(\alpha)$ отсюда <br><br> | |||
| $tg(\alpha) $$= \frac{\pi(\pi+4)}{4(\pi+2)(\pi+1)} \cdot \frac{BI}{\rho g}$ <br><br> | |||
| </div> | |||
| <h3> | |||
| Ответ: $\fbox{$tg(\alpha) = \frac{\pi(\pi+4)}{4(\pi+2)(\pi+1)} \cdot \frac{BI}{\rho g}$}$ | |||
| </h3> | |||
| </div> | |||
| <footer class="row container"> | |||
| <br> | |||
| <p> | |||
| <small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small> | |||
| </p> | |||
| <p> | |||
| <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small> | |||
| </p> | |||
| </footer> | |||
| </body> | |||
| </div> <footer class="row container"> | |||
| <div class="col col-lg-3"> | |||
| <div class="footer-left"> | |||
| <p> | |||
| <small> | |||
| © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, 2023-2024<br><br> | |||
| </small> | |||
| </p> | |||
| </div> | |||
| </div> | |||
| <div class="col col-lg-6"> | |||
| <div class="footer-middle"> | |||
| <p> | |||
| <small> | |||
| Все права принадлежат авторам.<br><br> | |||
| Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов.<br><br> | |||
| alex@savchenkosolutions.com<br><br> | |||
| <i>E = mc<sup>2</sup></i>. | |||
| </small> | |||
| </p> | |||
| </div> | |||
| </div> | |||
| <div class="col col-lg-3"> | |||
| <div class="footer-right"> | |||
| <div class="pull-right"> | |||
| </div> | |||
| </div> | |||
| </div> | |||
| </footer> | |||
| <script type="text/javascript" src="../../js/bootstrap-affix.js"></script> | |||
| <script type="text/javascript"> | |||
| $(function(){ | |||
| setTimeout(function () { | |||
| $('.back-to-top').affix(); | |||
| }, 100); | |||
| }); | |||
| </script> | |||
| </body> | |||
| </html> | </html> | ||