Движение заряженных частиц в сложных полях > Движение в однородном магнитном поле > Задача 10.1.25

Условие

$10.1.25.$ Области $I$ и $II$ двух однородных однонаправленных магнитных полей с индукцией $B_1$ и $B_2$ имеют осесимметричный тонкий переход $AA′$, в котором магнитное поле имеет большую радиальную составляющую. Электрон в области $I$ движется вдоль магнитного поля на расстоянии $R$ от оси симметрии перехода. Какой момент импульса относительно оси симметрии приобретает
электрон при переходе из области $I$ в область $II$? Сохраняется ли при движении этой частицы постоянной сумма $M+(1/2π)eΦ$ (см. обозначения в задаче $10.1.24$)?

Решение

Для начала покажем инвариантность суммы и в этом случае. Сила действующая на электрон внутри переходной зоны :

$$F = -B_r e \upsilon_z$$

Где $B_r$ - радиальная компонента индукции,$\upsilon_z$ - компонента скорости вдоль оси симметрии.

$$\frac{dM}{dt} = -B_r e r \upsilon_z $$

$$dM = - B_r e r dz$$

Теперь рассмотрим изменение потока через сечение кольца произвольного радиуса R:

$$d\Phi = 2 \pi R B_r dz$$

Отсюда:

$$dM = -\frac{1}{2\pi}ed\Phi$$

$$M+\frac{1}{2\pi} e \Phi = const$$

Ну и теперь, найти искомый момент очень просто, вначале момент импульса нулевой, ибо электрон не вращается:

$$\frac{1}{2}eB_1 R^2 = M + \frac{1}{2}eB_2 R^2$$

$$M = \frac{(B_2 - B_1)R^2e}{2}$$

Ответ

$$M = \frac{(B_2 - B_1)R^2e}{2}$$