Постоянное магнитное поле > Магнитный поток > Задача 9.4.4

Условие

$9.4.4.$ Докажите, что магнитный поток, создаваемый элементом тока, через любую замкнутую поверхность равен нулю.

Решение

В прошлой задаче мы уже показали, что если дивергенция поля равна нулю, то его поток через любую замкнутую поверхность равен нулю.

Запишем закон Био-Саваре-Лапласа:

$$\hat{B} = \mu_0 I[d\hat{l} \times \frac{\hat{r}}{r^3}]$$

Заметим что градиент от следующего выражения равен:
$$\nabla \frac{1}{r} = -\frac{\hat{r}}{r^3}$$

Теперь найдем дивергенцию:
$$div \hat{B} =-\nabla\mu_0 I[d\hat{l} \times \nabla \frac{1}{r}]$$

От $x, y, z$ зависит только $r$, тут нам понадобится один факт из математики, ротор от градиента равен 0 $\to$ дивергенция равна нулю, а значит утверждение доказано.

Ответ

Ч.т.д.