Постоянное магнитное поле > Магнитный поток > Задача 9.4.10

Условие

$9.4.10.$ а. Определите магнитный поток через поверхность полубесконечного цилиндра, по которому циркулирует поперечный ток с линейной плотностью $i$.Радиус цилиндра $R$.
б. С какой силой притягиваются половинки длинного соленоида с током $I$? Радиус соленоида $R$, число витков на единицу длины соленоида $n$

Решение

а)Из задачи $9.3.10$ известно что глубоко внутри такого соленоида поле параллельно оси и равно:
$$B_1 = \mu_0 i$$
А на краю компонента параллельная оси:
$$B_2 = \frac{\mu_0 i}{2}$$
Из теоремы Гаусса для магнитного поля, поток входящий в торец внутри, равен потоку выходящему через стенки и внешний торец, отсюда:
$$\Phi = (B_1 - B_2)\pi R^2$$
$$\Phi = \frac{1}{2}\mu_0 i\pi R^2$$

б)В Савченко не указано как разрезан соленоид, вдоль или поперек, поэтому если вы пришли за этим, в савченко подразумевается что он разрезан поперек оси.

Теперь к решению, выделим эелемент размерами dl на dh на одной половинке цилиндра(неважно где, половинки очень длинные), на него действует сила вдоль оси равная:
$$F_{||}=B_{\perp}idldh$$
$$F_{||}=B_{\perp}dSIn$$
$$F_{||}=Ind\Phi$$
где $d\Phi$ - элементарный поток через бок. повеохность.
Значит вся сила равна:
$$F=In\Phi=\frac{1}{2}\mu_0\pi (InR)^2$$

У этой задачи есть более короткое решение через плотность энергии, которая равна магнитному давлению:
$$P=\omega = \frac{B^2}{2\mu_0}$$
Примем поле равным $B=\mu_0 i= \mu_0In$

$$F = PS = \frac{1}{2}\mu_0\pi (InR)^2$$

Ответ

$$F=In\Phi=\frac{1}{2}\mu_0\pi (InR)^2$$