Постоянное магнитное поле > Магнитный поток > Задача 9.4.3

Условие

$9.4.3.$ Покажите, что магнитный поток,создаваемый плоскостью с линейной плотностью тока $i$, через любую замкнутую поверхность равен нулю

Решение

Мы знаем что плоскость с линейной плотностью тока $i$ создает однородное поле вокруг себя, его значение $$B=\frac{\mu_0 i}{2}$$
но оно нам по сути не нужно.

Рассмотрим произвольную замкнутую поверхность. Поток по определению равен:
$$\oint_S \hat{B}\cdot d\hat{S}$$

Нам пригодится определение дивергенции вектора:
$$div \hat{a} = {lim}_{\Delta V\to0} \frac{1}{\Delta V}\oint_S \hat{a}\cdot d\hat{S}=\frac{\partial a}{\partial x}+\frac{\partial a}{\partial y} + \frac{\partial a}{\partial z}$$

Заметим пока что из второго определения и однородности поля следует $$div \hat{B}=0$$
во всем пространстве

Теперь разобъем объем который ограничевает наша поверхность на много бесконечномалых объемов $dV$. Из первого определения дивергенции можно получить альтернативное выражение для потока:
$$\Phi = \int_V div \hat{B} dV$$

Т.к. дивергенция равна нулю в любой точке пространства: $\to$ $$\Phi=0$$

Ответ

Ч.т.д.