Правка разделов «Решение», «Альтернативное решение»
ru/2.2.3.md
+14 −12
| ### Условие: | |||
| $2.2.3.$ Космический корабль должен, изменив курс, двигаться с прежним по модулю импульсом $р$ под углом $\alpha$ к первоначальному направлению. На какое наименьшее время нужно включить двигатель с силой тяги $F$ и как при этом нужно ориентировать ось двигателя? | |||
| ### Решение: | |||
| @@ -6,37 +6,39 @@Решение: | |||
| При включении двигателя с силой тяги $F$ на время $\Delta t$, импульс корабля будет равен | |||
| − | $\vec{p_1} = \vec{p} + | ||
| + | $$\vec{p_1} = \vec{p} + \Delta \vec{p} \quad (1)$$ | ||
| − | где $\vec{\Delta p} = \vec{F} \cdot \Delta t$. (2) | ||
| + | где | ||
| − | Выберем направление оси $x$ и спроецируем уравнение (2) | ||
| + | $$\Delta \vec{p} = \vec{F} \cdot \Delta t \quad (2)$$ | ||
| − | $\Delta p = F \cdot \Delta t$. (3) | ||
| + | Выберем направление оси $x$ и спроецируем уравнение $(2)$ | ||
| − | С другой стороны, из уравнения (1) в проекции на ось $x$ | ||
| + | $$\Delta p = F \cdot \Delta t \quad (3)$$ | ||
| − | $\Delta p =2p \cdot\sin\frac{\alpha}{2}$ (рис.). (4) | ||
| + | С другой стороны, из уравнения $(1)$ в проекции на ось $x$ | ||
| − | Приравняем правые части уравнений (3) и (4) | ||
| + | $$\Delta p =2p \cdot\sin\frac{\alpha}{2}\quad (4)$$ | ||
| − | $F \cdot \Delta t = 2p \cdot\sin\frac{\alpha}{2}$. | ||
| + | Приравняем правые части уравнений $(3)$ и $(4)$ | ||
| + | $$F \cdot \Delta t = 2p \cdot\sin\frac{\alpha}{2}$$ | ||
| + | |||
| Откуда искомое время включения двигателя $$\Delta t = \frac{2p \cdot\sin\frac{\alpha}{2}}{F}$$ | |||
| Ось двигателя нужно ориентировать к первоначальному направлению под углом | |||
| − | $$\beta = \frac{\pi}{2} + \frac{\alpha}{2}$ | ||
| + | $$\beta = \frac{\pi}{2} + \frac{\alpha}{2}$$ | ||
| ### Альтернативное решение: | |||
| Нужно добавить импульс | |||
| − | $$p_2\sqrt{2+2\cos\alpha} = 2p | ||
| + | $$p_2\sqrt{2+2\cos\alpha} = 2p\cdot\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$$ | ||
| − | Тогда время $$\Delta t = \frac{p_2}{F}=\frac{2p}{F} | ||
| + | Тогда время $$\Delta t = \frac{p_2}{F}=\frac{2p}{F}\cdot\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$$ | ||
| − | Угол между начальной скоростью и силой $F$ будет равен углу р | ||
| + | Угол между начальной скоростью и силой $F$ будет равен углу равнобедренного треугольника с углом при вершине: | ||
| $$\frac{1}{2}(\pi - \alpha )$$ | |||
| Двигатель ориентирован в обратном силе направлении, значит | |||
| $$\beta = \pi - \frac{1}{2}(\pi - \alpha ) = \frac{1}{2}(\pi + \alpha )$$ | |||
| ### Ответ: | |||
| $$\Delta t = \frac{2p \cdot\sin\frac{\alpha}{2}}{F}$$ $$\beta = \frac{\pi}{2} + \frac{\alpha}{2}$$ | |||
| ещё строк без изменений 7 | |||
| ### Условие: | ### Условие: | ||
| $2.2.3.$ Космический корабль должен, изменив курс, двигаться с прежним по модулю импульсом $р$ под углом $\alpha$ к первоначальному направлению. На какое наименьшее время нужно включить двигатель с силой тяги $F$ и как при этом нужно ориентировать ось двигателя? | $2.2.3.$ Космический корабль должен, изменив курс, двигаться с прежним по модулю импульсом $р$ под углом $\alpha$ к первоначальному направлению. На какое наименьшее время нужно включить двигатель с силой тяги $F$ и как при этом нужно ориентировать ось двигателя? | ||
| ### Решение: | ### Решение: | ||
| @@ -6,37 +6,39 @@Решение: | |||
| При включении двигателя с силой тяги $F$ на время $\Delta t$, импульс корабля будет равен | При включении двигателя с силой тяги $F$ на время $\Delta t$, импульс корабля будет равен | ||
| $\vec{p_1} = \vec{p} + |
$$\vec{p_1} = \vec{p} + \Delta \vec{p} \quad (1)$$ | ||
| где $\vec{\Delta p} = \vec{F} \cdot \Delta t$. (2) | где | ||
| Выберем направление оси $x$ и спроецируем уравнение (2) | $$\Delta \vec{p} = \vec{F} \cdot \Delta t \quad (2)$$ | ||
| $\Delta p = F \cdot \Delta t$. (3) | Выберем направление оси $x$ и спроецируем уравнение $(2)$ | ||
| С другой стороны, из уравнения (1) в проекции на ось $x$ | $$\Delta p = F \cdot \Delta t \quad (3)$$ | ||
| $\Delta p =2p \cdot\sin\frac{\alpha}{2}$ (рис.). (4) | С другой стороны, из уравнения $(1)$ в проекции на ось $x$ | ||
| Приравняем правые части уравнений (3) и (4) | $$\Delta p =2p \cdot\sin\frac{\alpha}{2}\quad (4)$$ | ||
| $F \cdot \Delta t = 2p \cdot\sin\frac{\alpha}{2}$. | Приравняем правые части уравнений $(3)$ и $(4)$ | ||
| $$F \cdot \Delta t = 2p \cdot\sin\frac{\alpha}{2}$$ | |||
| Откуда искомое время включения двигателя $$\Delta t = \frac{2p \cdot\sin\frac{\alpha}{2}}{F}$$ | Откуда искомое время включения двигателя $$\Delta t = \frac{2p \cdot\sin\frac{\alpha}{2}}{F}$$ | ||
| Ось двигателя нужно ориентировать к первоначальному направлению под углом | Ось двигателя нужно ориентировать к первоначальному направлению под углом | ||
| $$\beta = \frac{\pi}{2} + \frac{\alpha}{2}$ |
$$\beta = \frac{\pi}{2} + \frac{\alpha}{2}$$ | ||
| ### Альтернативное решение: | ### Альтернативное решение: | ||
| Нужно добавить импульс | Нужно добавить импульс | ||
| $$p_2\sqrt{2+2\cos\alpha} = 2p |
$$p_2\sqrt{2+2\cos\alpha} = 2p\cdot\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$$ | ||
| Тогда время $$\Delta t = \frac{p_2}{F}=\frac{2p}{F} |
Тогда время $$\Delta t = \frac{p_2}{F}=\frac{2p}{F}\cdot\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$$ | ||
| Угол между начальной скоростью и силой $F$ будет равен углу р |
Угол между начальной скоростью и силой $F$ будет равен углу равнобедренного треугольника с углом при вершине: | ||
| $$\frac{1}{2}(\pi - \alpha )$$ | $$\frac{1}{2}(\pi - \alpha )$$ | ||
| Двигатель ориентирован в обратном силе направлении, значит | Двигатель ориентирован в обратном силе направлении, значит | ||
| $$\beta = \pi - \frac{1}{2}(\pi - \alpha ) = \frac{1}{2}(\pi + \alpha )$$ | $$\beta = \pi - \frac{1}{2}(\pi - \alpha ) = \frac{1}{2}(\pi + \alpha )$$ | ||
| ### Ответ: | ### Ответ: | ||
| $$\Delta t = \frac{2p \cdot\sin\frac{\alpha}{2}}{F}$$ $$\beta = \frac{\pi}{2} + \frac{\alpha}{2}$$ | $$\Delta t = \frac{2p \cdot\sin\frac{\alpha}{2}}{F}$$ $$\beta = \frac{\pi}{2} + \frac{\alpha}{2}$$ | ||
| ещё строк без изменений 7 | |||