Правка раздела «Решение»
ru/2.2.3.md
+4 −4
| ### Условие: | |||
| $2.2.3.$ Космический корабль должен, изменив курс, двигаться с прежним по модулю импульсом $р$ под углом $\alpha$ к первоначальному направлению. На какое наименьшее время нужно включить двигатель с силой тяги $F$ и как при этом нужно ориентировать ось двигателя? | |||
| ### Решение: | |||
| @@ -6,19 +6,19 @@Решение: | |||
| При включении двигателя с силой тяги $F$ на время $\Delta t$, импульс корабля будет равен | |||
| − | $$\vec{p_1} = \vec{p} + \Delta \vec{p} | ||
| + | $$\vec{p_1} = \vec{p} + \Delta \vec{p} \tag{1}$$ | ||
| где | |||
| − | $$\Delta \vec{p} = \vec{F} \cdot \Delta t | ||
| + | $$\Delta \vec{p} = \vec{F} \cdot \Delta t \tag{2}$$ | ||
| Выберем направление оси $x$ и спроецируем уравнение $(2)$ | |||
| − | $$\Delta p = F \cdot \Delta t | ||
| + | $$\Delta p = F \cdot \Delta t \tag{3}$$ | ||
| С другой стороны, из уравнения $(1)$ в проекции на ось $x$ | |||
| − | $$\Delta p =2p \cdot\sin\frac{\alpha}{2} | ||
| + | $$\Delta p =2p \cdot\sin\frac{\alpha}{2}\tag{4}$$ | ||
| Приравняем правые части уравнений $(3)$ и $(4)$ | |||
| $$F \cdot \Delta t = 2p \cdot\sin\frac{\alpha}{2}$$ | |||
| Откуда искомое время включения двигателя $$\Delta t = \frac{2p \cdot\sin\frac{\alpha}{2}}{F}$$ | |||
| Ось двигателя нужно ориентировать к первоначальному направлению под углом | |||
| $$\beta = \frac{\pi}{2} + \frac{\alpha}{2}$$ | |||
| ### Альтернативное решение: | |||
| Нужно добавить импульс | |||
| $$p_2\sqrt{2+2\cos\alpha} = 2p\cdot\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$$ | |||
| Тогда время $$\Delta t = \frac{p_2}{F}=\frac{2p}{F}\cdot\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$$ | |||
| Угол между начальной скоростью и силой $F$ будет равен углу равнобедренного треугольника с углом при вершине: | |||
| $$\frac{1}{2}(\pi - \alpha )$$ | |||
| Двигатель ориентирован в обратном силе направлении, значит | |||
| $$\beta = \pi - \frac{1}{2}(\pi - \alpha ) = \frac{1}{2}(\pi + \alpha )$$ | |||
| ### Ответ: | |||
| $$\Delta t = \frac{2p \cdot\sin\frac{\alpha}{2}}{F}$$ $$\beta = \frac{\pi}{2} + \frac{\alpha}{2}$$ | |||
| ещё строк без изменений 27 | |||
| ### Условие: | ### Условие: | ||
| $2.2.3.$ Космический корабль должен, изменив курс, двигаться с прежним по модулю импульсом $р$ под углом $\alpha$ к первоначальному направлению. На какое наименьшее время нужно включить двигатель с силой тяги $F$ и как при этом нужно ориентировать ось двигателя? | $2.2.3.$ Космический корабль должен, изменив курс, двигаться с прежним по модулю импульсом $р$ под углом $\alpha$ к первоначальному направлению. На какое наименьшее время нужно включить двигатель с силой тяги $F$ и как при этом нужно ориентировать ось двигателя? | ||
| ### Решение: | ### Решение: | ||
| @@ -6,19 +6,19 @@Решение: | |||
| При включении двигателя с силой тяги $F$ на время $\Delta t$, импульс корабля будет равен | При включении двигателя с силой тяги $F$ на время $\Delta t$, импульс корабля будет равен | ||
| $$\vec{p_1} = \vec{p} + \Delta \vec{p} |
$$\vec{p_1} = \vec{p} + \Delta \vec{p} \tag{1}$$ | ||
| где | где | ||
| $$\Delta \vec{p} = \vec{F} \cdot \Delta t |
$$\Delta \vec{p} = \vec{F} \cdot \Delta t \tag{2}$$ | ||
| Выберем направление оси $x$ и спроецируем уравнение $(2)$ | Выберем направление оси $x$ и спроецируем уравнение $(2)$ | ||
| $$\Delta p = F \cdot \Delta t |
$$\Delta p = F \cdot \Delta t \tag{3}$$ | ||
| С другой стороны, из уравнения $(1)$ в проекции на ось $x$ | С другой стороны, из уравнения $(1)$ в проекции на ось $x$ | ||
| $$\Delta p =2p \cdot\sin\frac{\alpha}{2} |
$$\Delta p =2p \cdot\sin\frac{\alpha}{2}\tag{4}$$ | ||
| Приравняем правые части уравнений $(3)$ и $(4)$ | Приравняем правые части уравнений $(3)$ и $(4)$ | ||
| $$F \cdot \Delta t = 2p \cdot\sin\frac{\alpha}{2}$$ | $$F \cdot \Delta t = 2p \cdot\sin\frac{\alpha}{2}$$ | ||
| Откуда искомое время включения двигателя $$\Delta t = \frac{2p \cdot\sin\frac{\alpha}{2}}{F}$$ | Откуда искомое время включения двигателя $$\Delta t = \frac{2p \cdot\sin\frac{\alpha}{2}}{F}$$ | ||
| Ось двигателя нужно ориентировать к первоначальному направлению под углом | Ось двигателя нужно ориентировать к первоначальному направлению под углом | ||
| $$\beta = \frac{\pi}{2} + \frac{\alpha}{2}$$ | $$\beta = \frac{\pi}{2} + \frac{\alpha}{2}$$ | ||
| ### Альтернативное решение: | ### Альтернативное решение: | ||
| Нужно добавить импульс | Нужно добавить импульс | ||
| $$p_2\sqrt{2+2\cos\alpha} = 2p\cdot\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$$ | $$p_2\sqrt{2+2\cos\alpha} = 2p\cdot\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$$ | ||
| Тогда время $$\Delta t = \frac{p_2}{F}=\frac{2p}{F}\cdot\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$$ | Тогда время $$\Delta t = \frac{p_2}{F}=\frac{2p}{F}\cdot\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$$ | ||
| Угол между начальной скоростью и силой $F$ будет равен углу равнобедренного треугольника с углом при вершине: | Угол между начальной скоростью и силой $F$ будет равен углу равнобедренного треугольника с углом при вершине: | ||
| $$\frac{1}{2}(\pi - \alpha )$$ | $$\frac{1}{2}(\pi - \alpha )$$ | ||
| Двигатель ориентирован в обратном силе направлении, значит | Двигатель ориентирован в обратном силе направлении, значит | ||
| $$\beta = \pi - \frac{1}{2}(\pi - \alpha ) = \frac{1}{2}(\pi + \alpha )$$ | $$\beta = \pi - \frac{1}{2}(\pi - \alpha ) = \frac{1}{2}(\pi + \alpha )$$ | ||
| ### Ответ: | ### Ответ: | ||
| $$\Delta t = \frac{2p \cdot\sin\frac{\alpha}{2}}{F}$$ $$\beta = \frac{\pi}{2} + \frac{\alpha}{2}$$ | $$\Delta t = \frac{2p \cdot\sin\frac{\alpha}{2}}{F}$$ $$\beta = \frac{\pi}{2} + \frac{\alpha}{2}$$ | ||
| ещё строк без изменений 27 | |||