| @@ -1,13 +1,55 @@ |
| ### Условие: |
| ### Условие: |
| |
| |
| $4.1.6.$ Коническая пробка перекрывает сразу два отверстия в плоском сосуде, заполненном жидкостью при давлении $P$. Радиус отверстий $r$ и $R$. Определите силу, действующую на пробку со стороны жидкости. |
| $4.1.6.$ Коническая пробка перекрывает сразу два отверстия в плоском сосуде, заполненном жидкостью при давлении $P$. Радиус отверстий $r$ и $R$. Определите силу, действующую на пробку со стороны жидкости. |
| |
| |
|  |
|  |
| |
| |
| ### Решение: |
| ### Решение: |
| |
| |
| 1) Часть пробки, которую перекрывают два отверстия в плоском сосуде, представляет собой усечённый конус. Его объём находится по формуле  $V=\frac{1}{3}\pi h(r^{2}+R^{2}+rR)$  2) Если бы у пробки "отпилили" красную часть и поместили так, чтобы она не касалась дна (рисунок 3), то ответом на вопрос задачи была бы формула силы Архимеда, где в качестве объёма фигурирует объём усечённого конуса (выделен зелёным цветом). Сила Архимеда - это сумма всех сил давления на все стороны тела. То есть, для ситуации на рисунке 3 её можно представить следующим образом: $F_{A}=\sum_{i}F_{i}+F_д$ где $F_д$—сила давления на нижнее основание усечёного конуса $F=F_{A}-F_{g}=pgV-s\cdot p$$=\frac{\rho g \pi h(r^{2}+R^{2}+rR)}{3} - \pi r^{2}\cdot p$ Т.к. $p=\rho g h:$ $F=\frac{p \pi (r^{2}+R^{2}+rR)}{3}-\frac{3\pi r^{2}\cdot p}{3}$ $F=\frac{\pi p(R^{2}+rR-2r^{2})}{3}$ |
|  |
| |
| |
| ### Ответ: $F=\frac{\pi pd(R^{2}+rR-2r^{2})}{3}$ |
|  |
| |
| |
| ### |
| Пробка перекрывает два отверстия разного радиуса \( r \) и \( R \), образуя усечённый конус с высотой \( h \). Объём усечённого конуса вычисляется по формуле: |
| |
| |
| |
| $$V=\frac{1}{3}\pi h(r^{2}+R^{2}+rR)$$ |
| |
| |
| |
| Архимедова сила \( F_A \) равна весу вытесненной жидкости, а значит: |
| |
| \[ |
| |
| F_A = \rho g V |
| |
| \] |
| |
| где \( \rho \) — плотность жидкости, \( g \) — ускорение свободного падения. |
| |
| Подставляем объём усечённого конуса: |
| |
| \[ |
| |
| F_A = \rho g \cdot \frac{1}{3} \pi h \left(r^2 + R^2 + rR\right) |
| |
| \] |
| |
| |
| |
| Давление жидкости действует на все поверхности пробки, но силу \( F \), действующую на пробку, можно представить как разность: |
| |
| \[ |
| |
| F = F_A - F_g |
| |
| \] |
| |
| где \( F_g \) — сила давления на нижнее основание пробки. |
| |
| |
| |
| Давление \( p \) на глубине \( h \): |
| |
| \[ |
| |
| p = \rho g h |
| |
| \] |
| |
| Сила \( F_g \), действующая на нижнее основание радиуса \( r \): |
| |
| \[ |
| |
| F_g = \pi r^2 p |
| |
| \] |
| |
| |
| |
| Подставляем значения в формулу \( F \): |
| |
| \[ |
| |
| F = \frac{\rho g \pi h \left(r^2 + R^2 + rR\right)}{3} - \pi r^2 p |
| |
| \] |
| |
| Заменяем \( \rho g h \) на \( p \): |
| |
| \[ |
| |
| F = \frac{\pi p \left(r^2 + R^2 + rR\right)}{3} - \pi r^2 p |
| |
| \] |
| |
| Приводим к общему знаменателю: |
| |
| \[ |
| |
| F = \frac{\pi p \left(R^2 + rR - 2r^2\right)}{3} |
| |
| \] |
| |
| |
| |
| ### Ответ: $F=\frac{\pi pd(R^{2}+rR-2r^{2})}{3}$ |
