$4.1.6.$ Коническая пробка перекрывает сразу два отверстия в плоском сосуде, заполненном жидкостью при давлении $P$. Радиус отверстий $r$ и $R$. Определите силу, действующую на пробку со стороны жидкости.
Пробка перекрывает два отверстия разного радиуса \( r \) и \( R \), образуя усечённый конус с высотой \( h \). Объём усечённого конуса вычисляется по формуле:
@@ -15,41 +15,54 @@Решение:
$$V=\frac{1}{3}\pi h(r^{2}+R^{2}+rR)$$
Архимедова сила \( F_A \) равна весу вытесненной жидкости, а значит:
+
\[
F_A = \rho g V
\]
+
где \(\rho\) — плотность жидкости, \( g \) — ускорение свободного падения.
Подставляем объём усечённого конуса:
+
\[
F_A = \rho g \cdot\frac{1}{3}\pi h \left(r^2 + R^2 + rR\right)
\]
Давление жидкости действует на все поверхности пробки, но силу \( F \), действующую на пробку, можно представить как разность:
+
\[
F = F_A - F_g
\]
+
где \( F_g \) — сила давления на нижнее основание пробки.
Давление \( p \) на глубине \( h \):
+
\[
p = \rho g h
\]
+
Сила \( F_g \), действующая на нижнее основание радиуса \( r \):
+
\[
F_g = \pi r^2 p
\]
Подставляем значения в формулу \( F \):
+
\[
F = \frac{\rho g \pi h \left(r^2 + R^2 + rR\right)}{3} - \pi r^2 p
\]
+
Заменяем \(\rho g h \) на \( p \):
+
\[
F = \frac{\pi p \left(r^2 + R^2 + rR\right)}{3} - \pi r^2 p
\]
+
Приводим к общему знаменателю:
+
\[
F = \frac{\pi p \left(R^2 + rR - 2r^2\right)}{3}
\]
### Ответ: $F=\frac{\pi pd(R^{2}+rR-2r^{2})}{3}$
### Условие:
### Условие:
$4.1.6.$ Коническая пробка перекрывает сразу два отверстия в плоском сосуде, заполненном жидкостью при давлении $P$. Радиус отверстий $r$ и $R$. Определите силу, действующую на пробку со стороны жидкости.
$4.1.6.$ Коническая пробка перекрывает сразу два отверстия в плоском сосуде, заполненном жидкостью при давлении $P$. Радиус отверстий $r$ и $R$. Определите силу, действующую на пробку со стороны жидкости.
Пробка перекрывает два отверстия разного радиуса \( r \) и \( R \), образуя усечённый конус с высотой \( h \). Объём усечённого конуса вычисляется по формуле:
Пробка перекрывает два отверстия разного радиуса \( r \) и \( R \), образуя усечённый конус с высотой \( h \). Объём усечённого конуса вычисляется по формуле:
@@ -15,41 +15,54 @@Решение:
$$V=\frac{1}{3}\pi h(r^{2}+R^{2}+rR)$$
$$V=\frac{1}{3}\pi h(r^{2}+R^{2}+rR)$$
Архимедова сила \( F_A \) равна весу вытесненной жидкости, а значит:
Архимедова сила \( F_A \) равна весу вытесненной жидкости, а значит:
\[
\[
F_A = \rho g V
F_A = \rho g V
\]
\]
где \(\rho\) — плотность жидкости, \( g \) — ускорение свободного падения.
где \(\rho\) — плотность жидкости, \( g \) — ускорение свободного падения.
Подставляем объём усечённого конуса:
Подставляем объём усечённого конуса:
\[
\[
F_A = \rho g \cdot\frac{1}{3}\pi h \left(r^2 + R^2 + rR\right)
F_A = \rho g \cdot\frac{1}{3}\pi h \left(r^2 + R^2 + rR\right)
\]
\]
Давление жидкости действует на все поверхности пробки, но силу \( F \), действующую на пробку, можно представить как разность:
Давление жидкости действует на все поверхности пробки, но силу \( F \), действующую на пробку, можно представить как разность:
\[
\[
F = F_A - F_g
F = F_A - F_g
\]
\]
где \( F_g \) — сила давления на нижнее основание пробки.
где \( F_g \) — сила давления на нижнее основание пробки.
Давление \( p \) на глубине \( h \):
Давление \( p \) на глубине \( h \):
\[
\[
p = \rho g h
p = \rho g h
\]
\]
Сила \( F_g \), действующая на нижнее основание радиуса \( r \):
Сила \( F_g \), действующая на нижнее основание радиуса \( r \):
\[
\[
F_g = \pi r^2 p
F_g = \pi r^2 p
\]
\]
Подставляем значения в формулу \( F \):
Подставляем значения в формулу \( F \):
\[
\[
F = \frac{\rho g \pi h \left(r^2 + R^2 + rR\right)}{3} - \pi r^2 p
F = \frac{\rho g \pi h \left(r^2 + R^2 + rR\right)}{3} - \pi r^2 p
\]
\]
Заменяем \(\rho g h \) на \( p \):
Заменяем \(\rho g h \) на \( p \):
\[
\[
F = \frac{\pi p \left(r^2 + R^2 + rR\right)}{3} - \pi r^2 p
F = \frac{\pi p \left(r^2 + R^2 + rR\right)}{3} - \pi r^2 p
