2.3.8 | правка #11996 | Решения Савченко

Условие

2.3.8. Пружина жесткости $$k$$ прикреплена одним концом кнеподвижнойстенке. На другой ее конец вдоль пружины с начальной скоростью $$v$$ налетает шар массы $$m$$ . Какова наибольшая деформация сжатия пружины? Ответьте на этот же вопрос для случая, когда пружина предварительно сжата и удерживается нерастяжимой нитью, связывающей ее концы (начальная деформация пружина равна $$x_0$$ )

Решение

Т.к. пружина закреплена, из закона сохранения энергии, энергия сжатой пружины равна начальной кинетической энергии шарика:

$кинпр$$E_{кин}=E_{пр}$$$

$\frac{mv^2}{2}=\frac{kx^2}{2}$

Откуда находим максимальное сжатие пружины для случая а)

$x=v\sqrt{\frac{m}{k}}\quad(a)$

Для случая $$2$$ пружина изначально имеет некоторую начальную энергию $\frac{kx_0^2}{2}$ :
$кинпр$$E_{кин}=E_{пр}$$$

Энергия сжатой пружины равна начальной кинетической энергии шарика

$\frac{kx^2}{2}-\frac{kx_0^2}{2}=\frac{mv^2}{2}$

Разделим обе части уравнения на жесткость пружины $$k$$

$x^2=x_0^2+\frac{m}{k}v^2$

Откуда находим максимальное сжатие пружины

$x=\sqrt{x_0^2+\frac{m}{k}v^2}\quad(b)$

Заметим, что при $$x_0=0$$ , мы получаем выражение $$(a)$$

Ответ

$x=v\sqrt{\frac{m}{k}};~x=\sqrt{x_0^2+\frac{m}{k}v^2}$