| ### Условие: | | ### Условие: |
| | | |
| $2.3.18^*.$ Веревка привязана к санкам и переброшена через перекладину ворот высоты $h$. Мальчик, сидящий на санках, начинает выбирать веревку, натягивая ее с силой $T$. Какую скорость он приобретет, проезжая под перекладиной? Начальная длина натянутой части веревки $2l$, масса мальчика с санками $m$. Трением пренебречь. | | $2.3.18^*.$ Веревка привязана к санкам и переброшена через перекладину ворот высоты $h$. Мальчик, сидящий на санках, начинает выбирать веревку, натягивая ее с силой $T$. Какую скорость он приобретет, проезжая под перекладиной? Начальная длина натянутой части веревки $2l$, масса мальчика с санками $m$. Трением пренебречь. |
| | | |
|  | |  |
| $$F_x=2T\cos\alpha\quad(1)$$ | | $$F_x=2T\cos\alpha\quad(1)$$ |
| | | |
| Из рисунка: | | Из рисунка: |
| | | |
| $$\cos\alpha =\frac{x}{\sqrt{x^2+h^2}}\quad(2)$$ | | $$\cos\alpha =\frac{x}{\sqrt{x^2+h^2}}\quad(2)$$ |
| | | |
| Тогда | | Тогда |
| | | |
| $$F_x=T\frac{2x}{\sqrt{x^2+h^2}}\quad(3)$$ | | $$F_x=T\frac{2x}{\sqrt{x^2+h^2}}\quad(3)$$ |
| | | |
| Работа внешней силы равна: | | Работа внешней силы равна: |
| | | |
| $$A=\int_{0}^{x_0}F_xdx\quad(4)$$ | | $$A=\int_{0}^{x_0}F_xdx\quad(4)$$ |
| | | |
| $$A=2T\int_{0}^{x_0}\frac{x}{\sqrt{x^2+h^2}}dx\quad(5)$$ | | $$A=2T\int_{0}^{x_0}\frac{x}{\sqrt{x^2+h^2}}dx\quad(5)$$ |
| | | |
| $$\int\frac{x}{\sqrt{x^2+h^2}}dx=\sqrt{x^2+h^2}+C\quad(6)$$ | | $$\int\frac{x}{\sqrt{x^2+h^2}}dx=\sqrt{x^2+h^2}+C\quad(6)$$ |
| | | |
| $$\int_{0}^{x_0}\frac{x}{\sqrt{x^2+h^2}}dx=\sqrt{x_0^2+h^2}-h\quad(7)$$ | | $$\int_{0}^{x_0}\frac{x}{\sqrt{x^2+h^2}}dx=\sqrt{x_0^2+h^2}-h\quad(7)$$ |
| | | |
| По условию: | | По условию: |
| | | |
| $$L=\sqrt{x^2+h^2}\quad(8)$$ | | $$L=\sqrt{x^2+h^2}\quad(8)$$ |
| | | |
| Тогда $(5)$ можно переписать: | | Тогда $(5)$ можно переписать: |
| | | |
| $$A=2T(L-h)\quad(9)$$ | | $$A=2T(L-h)\quad(9)$$ |
| | | |
| Энергия внешней силы перешла в кинетическую энергию санок $(A=E_{кин})$: | | Энергия внешней силы перешла в кинетическую энергию санок $(A=E_{кин})$: |
| | | |
| $$2T(L-h)=\frac{mv^2}{2}\quad(10)$$ | | $$2T(L-h)=\frac{mv^2}{2}\quad(10)$$ |
| | | |
| Отсюда: | | Отсюда: |
| | | |
| $$v=\sqrt{\frac{4T(L-h)}{m}}\quad(11)$$ | | $$v=\sqrt{\frac{4T(L-h)}{m}}\quad(11)$$ |
| | | |
| #### Ответ: $v=2\sqrt{\frac{T(L-h)}{m}}$ | | #### Ответ: $v=2\sqrt{\frac{T(L-h)}{m}}$ |
