$2.1.50.$ На гладкой горизонтальной плоскости находится клин с углом $\alpha$ при основании. Тело массы $m$, положенное на клин, опускается с ускорением, направленным под углом $\beta > \alpha$ к горизонтали. Определите массу клина.
### Решение:
 Силы действующие на систему
Разобьём ускорение бруска $\vec{a}_2$ на нормальную $\vec{a}_n$ и тангенциальную $\vec{a}_\tau$ компоненты
@@ -13,13 +13,13 @@Решение:
 Нормальное и тангенциальное ускорения
−
Из рисунка: $$a_n=a_2 \cdot\sin\beta$$$$a_\tau =a_2 \cdot\cos\beta$$$$a_n=a_\tau\cdot\tan\beta\quad(0)$$ Рассмотрим малое изменение координаты клина и бруска на нем за маленький промежуток $dt$: Клин сдвинулся на $dx_1$ Между тем, брусок в системе отсчета связанной с клином, по оси $OX$ брусок сдвинулся на $dx$, а по $OY$ — $dy$
+
Из рисунка: $$a_n=a_2 \cdot\sin\beta$$$$a_\tau =a_2 \cdot\cos\beta$$$$a_n=a_\tau\cdot\tan\beta\tag{0}$$ Рассмотрим малое изменение координаты клина и бруска на нем за маленький промежуток $dt$: Клин сдвинулся на $dx_1$ Между тем, брусок в системе отсчета связанной с клином, по оси $OX$ брусок сдвинулся на $dx$, а по $OY$ — $dy$
 Малое перещение за время $dt$
−
Относительно начальной точки, в СО Наблюдателя, брусок сдвинулся на $$OX: \;dx=dx_0+dx_1$$$$OY: \;dy=dy_0$$ Т.к. брусок не отрывается, $$dy=dx \cdot\tan\alpha\quad(a)$$ Продеффиринцируем дважды обе части выражения $(a)$: $$\frac{dy}{d^2t} = \frac{dx}{d^2t}\cdot\tan\alpha$$$$a_n = (a_\tau +a_1) \cdot\tan\alpha\quad(1)!$$ Запишем второй закон Ньютона для бруска на оси: $$OX: \;ma_\tau =N\,\sin\alpha\quad(2)$$$$OY: \;ma_n=mg-N\cos\alpha\quad(3)$$ По третьему закону Ньютона Сила давления $\vec{N}{}'$ оказаная бруском на клин равна по модулю и проивоположна по направлению силе нормальной реакции опоры $\vec{N}$: $$\vec{N}{}'=-\vec{N}$$ Второй закон Ньютона для клина на оси $OX$: $$Ma_1=N\,\sin\alpha\quad(4)$$ Составим и решим систему уравнений $(0)$, $(1)$, $(2)$, $(3)$ и $(4)$ относительно $M$: $$\left\\{\begin{matrix} a_n=a_\tau\cdot\tan\beta& \\\ a_n = (a_\tau +a_1) \cdot\tan\beta& \\\ ma_\tau =N\,\sin\alpha& \\\ ma_n=mg-N\cos\alpha& \\\ Ma_1=N\,\sin\alpha& \end{matrix}\right.$$$$\left\\{\begin{matrix} a_\tau\cdot\tan\beta = (a_\tau +a_1) \cdot\tan\alpha& \\\ ma_\tau =N\,\sin\alpha& \\\ ma_n=mg-N\cos\alpha& \\\ Ma_1=N\,\sin\alpha& \end{matrix}\right.$$$$M=ma_\tau\cdot\frac{1}{a_1}$$$$a_\tau (\tan\beta -\tan\alpha ) = a_1\,\tan\alpha$$$$\frac{a_\tau}{a_1} = \frac{\tan\alpha}{\tan\beta -\tan\alpha}$$$$M=m \frac{a_\tau}{a_1}$$$$\boxed{M=m \frac{\tan\alpha}{\tan\beta -\tan\alpha}}$$
+
Относительно начальной точки, в СО Наблюдателя, брусок сдвинулся на $$OX: \;dx=dx_0+dx_1$$$$OY: \;dy=dy_0$$ Т.к. брусок не отрывается, $$dy=dx \cdot\tan\alpha\tag{a}$$ Продеффиринцируем дважды обе части выражения $(a)$: $$\frac{dy}{d^2t} = \frac{dx}{d^2t}\cdot\tan\alpha$$$$a_n = (a_\tau +a_1) \cdot\tan\alpha\tag{1}!$$ Запишем второй закон Ньютона для бруска на оси: $$OX: \;ma_\tau =N\,\sin\alpha\tag{2}$$$$OY: \;ma_n=mg-N\cos\alpha\tag{3}$$ По третьему закону Ньютона Сила давления $\vec{N}{}'$ оказаная бруском на клин равна по модулю и проивоположна по направлению силе нормальной реакции опоры $\vec{N}$: $$\vec{N}{}'=-\vec{N}$$ Второй закон Ньютона для клина на оси $OX$: $$Ma_1=N\,\sin\alpha\tag{4}$$ Составим и решим систему уравнений $(0)$, $(1)$, $(2)$, $(3)$ и $(4)$ относительно $M$: $$\left\\{\begin{matrix} a_n=a_\tau\cdot\tan\beta& \\\ a_n = (a_\tau +a_1) \cdot\tan\beta& \\\ ma_\tau =N\,\sin\alpha& \\\ ma_n=mg-N\cos\alpha& \\\ Ma_1=N\,\sin\alpha& \end{matrix}\right.$$$$\left\\{\begin{matrix} a_\tau\cdot\tan\beta = (a_\tau +a_1) \cdot\tan\alpha& \\\ ma_\tau =N\,\sin\alpha& \\\ ma_n=mg-N\cos\alpha& \\\ Ma_1=N\,\sin\alpha& \end{matrix}\right.$$$$M=ma_\tau\cdot\frac{1}{a_1}$$$$a_\tau (\tan\beta -\tan\alpha ) = a_1\,\tan\alpha$$$$\frac{a_\tau}{a_1} = \frac{\tan\alpha}{\tan\beta -\tan\alpha}$$$$M=m \frac{a_\tau}{a_1}$$$$\boxed{M=m \frac{\tan\alpha}{\tan\beta -\tan\alpha}}$$
### Ответ:
$$M= m \frac{\tan\alpha}{\tan\beta -\tan\alpha}$$
### Условие:
### Условие:
$2.1.50.$ На гладкой горизонтальной плоскости находится клин с углом $\alpha$ при основании. Тело массы $m$, положенное на клин, опускается с ускорением, направленным под углом $\beta > \alpha$ к горизонтали. Определите массу клина.
$2.1.50.$ На гладкой горизонтальной плоскости находится клин с углом $\alpha$ при основании. Тело массы $m$, положенное на клин, опускается с ускорением, направленным под углом $\beta > \alpha$ к горизонтали. Определите массу клина.
### Решение:
### Решение:
 Силы действующие на систему
 Силы действующие на систему
Разобьём ускорение бруска $\vec{a}_2$ на нормальную $\vec{a}_n$ и тангенциальную $\vec{a}_\tau$ компоненты
Разобьём ускорение бруска $\vec{a}_2$ на нормальную $\vec{a}_n$ и тангенциальную $\vec{a}_\tau$ компоненты
@@ -13,13 +13,13 @@Решение:
 Нормальное и тангенциальное ускорения
 Нормальное и тангенциальное ускорения
Из рисунка: $$a_n=a_2 \cdot\sin\beta$$$$a_\tau =a_2 \cdot\cos\beta$$$$a_n=a_\tau\cdot\tan\beta\quad(0)$$ Рассмотрим малое изменение координаты клина и бруска на нем за маленький промежуток $dt$: Клин сдвинулся на $dx_1$ Между тем, брусок в системе отсчета связанной с клином, по оси $OX$ брусок сдвинулся на $dx$, а по $OY$ — $dy$
Из рисунка: $$a_n=a_2 \cdot\sin\beta$$$$a_\tau =a_2 \cdot\cos\beta$$$$a_n=a_\tau\cdot\tan\beta\tag{0}$$ Рассмотрим малое изменение координаты клина и бруска на нем за маленький промежуток $dt$: Клин сдвинулся на $dx_1$ Между тем, брусок в системе отсчета связанной с клином, по оси $OX$ брусок сдвинулся на $dx$, а по $OY$ — $dy$
 Малое перещение за время $dt$
 Малое перещение за время $dt$
Относительно начальной точки, в СО Наблюдателя, брусок сдвинулся на $$OX: \;dx=dx_0+dx_1$$$$OY: \;dy=dy_0$$ Т.к. брусок не отрывается, $$dy=dx \cdot\tan\alpha\quad(a)$$ Продеффиринцируем дважды обе части выражения $(a)$: $$\frac{dy}{d^2t} = \frac{dx}{d^2t}\cdot\tan\alpha$$$$a_n = (a_\tau +a_1) \cdot\tan\alpha\quad(1)!$$ Запишем второй закон Ньютона для бруска на оси: $$OX: \;ma_\tau =N\,\sin\alpha\quad(2)$$$$OY: \;ma_n=mg-N\cos\alpha\quad(3)$$ По третьему закону Ньютона Сила давления $\vec{N}{}'$ оказаная бруском на клин равна по модулю и проивоположна по направлению силе нормальной реакции опоры $\vec{N}$: $$\vec{N}{}'=-\vec{N}$$ Второй закон Ньютона для клина на оси $OX$: $$Ma_1=N\,\sin\alpha\quad(4)$$ Составим и решим систему уравнений $(0)$, $(1)$, $(2)$, $(3)$ и $(4)$ относительно $M$: $$\left\\{\begin{matrix} a_n=a_\tau\cdot\tan\beta& \\\ a_n = (a_\tau +a_1) \cdot\tan\beta& \\\ ma_\tau =N\,\sin\alpha& \\\ ma_n=mg-N\cos\alpha& \\\ Ma_1=N\,\sin\alpha& \end{matrix}\right.$$$$\left\\{\begin{matrix} a_\tau\cdot\tan\beta = (a_\tau +a_1) \cdot\tan\alpha& \\\ ma_\tau =N\,\sin\alpha& \\\ ma_n=mg-N\cos\alpha& \\\ Ma_1=N\,\sin\alpha& \end{matrix}\right.$$$$M=ma_\tau\cdot\frac{1}{a_1}$$$$a_\tau (\tan\beta -\tan\alpha ) = a_1\,\tan\alpha$$$$\frac{a_\tau}{a_1} = \frac{\tan\alpha}{\tan\beta -\tan\alpha}$$$$M=m \frac{a_\tau}{a_1}$$$$\boxed{M=m \frac{\tan\alpha}{\tan\beta -\tan\alpha}}$$
Относительно начальной точки, в СО Наблюдателя, брусок сдвинулся на $$OX: \;dx=dx_0+dx_1$$$$OY: \;dy=dy_0$$ Т.к. брусок не отрывается, $$dy=dx \cdot\tan\alpha\tag{a}$$ Продеффиринцируем дважды обе части выражения $(a)$: $$\frac{dy}{d^2t} = \frac{dx}{d^2t}\cdot\tan\alpha$$$$a_n = (a_\tau +a_1) \cdot\tan\alpha\tag{1}!$$ Запишем второй закон Ньютона для бруска на оси: $$OX: \;ma_\tau =N\,\sin\alpha\tag{2}$$$$OY: \;ma_n=mg-N\cos\alpha\tag{3}$$ По третьему закону Ньютона Сила давления $\vec{N}{}'$ оказаная бруском на клин равна по модулю и проивоположна по направлению силе нормальной реакции опоры $\vec{N}$: $$\vec{N}{}'=-\vec{N}$$ Второй закон Ньютона для клина на оси $OX$: $$Ma_1=N\,\sin\alpha\tag{4}$$ Составим и решим систему уравнений $(0)$, $(1)$, $(2)$, $(3)$ и $(4)$ относительно $M$: $$\left\\{\begin{matrix} a_n=a_\tau\cdot\tan\beta& \\\ a_n = (a_\tau +a_1) \cdot\tan\beta& \\\ ma_\tau =N\,\sin\alpha& \\\ ma_n=mg-N\cos\alpha& \\\ Ma_1=N\,\sin\alpha& \end{matrix}\right.$$$$\left\\{\begin{matrix} a_\tau\cdot\tan\beta = (a_\tau +a_1) \cdot\tan\alpha& \\\ ma_\tau =N\,\sin\alpha& \\\ ma_n=mg-N\cos\alpha& \\\ Ma_1=N\,\sin\alpha& \end{matrix}\right.$$$$M=ma_\tau\cdot\frac{1}{a_1}$$$$a_\tau (\tan\beta -\tan\alpha ) = a_1\,\tan\alpha$$$$\frac{a_\tau}{a_1} = \frac{\tan\alpha}{\tan\beta -\tan\alpha}$$$$M=m \frac{a_\tau}{a_1}$$$$\boxed{M=m \frac{\tan\alpha}{\tan\beta -\tan\alpha}}$$
