Правка раздела «Условие»
ru/2.1.60.md
+1 −1
| @@ -1,6 +1,6 @@ | |||
| ### Условие: | |||
| − | $2.1.60^*.$ Из тонкого резинового жгута массы $m$ и жесткости $k$ сделали кольцо. Это кольцо раскрутили вокруг его оси. Найдите новый радиус кольца, если угловая скорость его вращения равна $\omega$, а радис равен$R$ | ||
| + | $2.1.60^*.$ Из тонкого резинового жгута массы $m$ и жесткости $k$ сделали кольцо. Это кольцо раскрутили вокруг его оси. Найдите новый радиус кольца, если угловая скорость его вращения равна $\omega$, а радиус равен$R$ | ||
| ### Решение: | |||
| Рассмотрим маленький кусочек жгута длины $dl = 2\alpha R$ | |||
|  | |||
| На кусочек жгута действуют силы натяжения | |||
| $$ | |||
| T_1 = T_2 = 2k\alpha (R-R_0) | |||
| $$ | |||
| При учитывая $\sin\alpha\approx \alpha$ при малых углах | |||
| $$ | |||
| T_{н} = 2T\alpha | |||
| $$ | |||
| В силу однородности жгута, кусочек длины $dl = 2\alpha R$ будет иметь массу | |||
| $$ | |||
| dm = m \frac{\alpha}{\pi} | |||
| $$ | |||
| При этом на него будет действовать ценстростремительное ускорение | |||
| $$ | |||
| a = \omega^2 R | |||
| $$ | |||
| Второй закон Ньютона запишем как | |||
| $$ | |||
| dma = T_{н} | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| m \frac{1}{\pi} \omega^2 R = 4k (R-R_0)\alpha | |||
| $$ | |||
| Откуда находим $R$ | |||
| $$ | |||
| \boxed{R = \frac{R_0}{1 − m \omega^2 /4 \pi^2 k}} | |||
| $$ | |||
| Анализируя полученное полученное выражение, при $R< R_0$ будет действовать результирующая сила упругости $\vec{T}_{н}$ направленная на расстяжение, которое не будет компенсировать центробежной силой. Таким образом, жгут будет бесконечно растягиваться и в конечном счёте разорвётся. | |||
| #### Ответ: | |||
| $R = R_0/(1 − m \omega^2 /4 \pi^2 k)$ при $\omega < 2\pi\sqrt{k/m};$ | |||
| при $\omega\geq 2\pi\sqrt {k/m}$ кольцо неограниченно растягивается | |||
| ### Альтернативное решение: | |||
|  | |||
| ещё строк без изменений 55 | |||
| @@ -1,6 +1,6 @@ | |||
| ### Условие: | ### Условие: | ||
| $2.1.60^*.$ Из тонкого резинового жгута массы $m$ и жесткости $k$ сделали кольцо. Это кольцо раскрутили вокруг его оси. Найдите новый радиус кольца, если угловая скорость его вращения равна $\omega$, а радис равен$R$ | $2.1.60^*.$ Из тонкого резинового жгута массы $m$ и жесткости $k$ сделали кольцо. Это кольцо раскрутили вокруг его оси. Найдите новый радиус кольца, если угловая скорость его вращения равна $\omega$, а радиус равен$R$ | ||
| ### Решение: | ### Решение: | ||
| Рассмотрим маленький кусочек жгута длины $dl = 2\alpha R$ | Рассмотрим маленький кусочек жгута длины $dl = 2\alpha R$ | ||
|  |  | ||
| На кусочек жгута действуют силы натяжения | На кусочек жгута действуют силы натяжения | ||
| $$ | $$ | ||
| T_1 = T_2 = 2k\alpha (R-R_0) | T_1 = T_2 = 2k\alpha (R-R_0) | ||
| $$ | $$ | ||
| При учитывая $\sin\alpha\approx \alpha$ при малых углах | При учитывая $\sin\alpha\approx \alpha$ при малых углах | ||
| $$ | $$ | ||
| T_{н} = 2T\alpha | T_{н} = 2T\alpha | ||
| $$ | $$ | ||
| В силу однородности жгута, кусочек длины $dl = 2\alpha R$ будет иметь массу | В силу однородности жгута, кусочек длины $dl = 2\alpha R$ будет иметь массу | ||
| $$ | $$ | ||
| dm = m \frac{\alpha}{\pi} | dm = m \frac{\alpha}{\pi} | ||
| $$ | $$ | ||
| При этом на него будет действовать ценстростремительное ускорение | При этом на него будет действовать ценстростремительное ускорение | ||
| $$ | $$ | ||
| a = \omega^2 R | a = \omega^2 R | ||
| $$ | $$ | ||
| Второй закон Ньютона запишем как | Второй закон Ньютона запишем как | ||
| $$ | $$ | ||
| dma = T_{н} | dma = T_{н} | ||
| $$ | $$ | ||
| $$ | $$ | ||
| m \frac{1}{\pi} \omega^2 R = 4k (R-R_0)\alpha | m \frac{1}{\pi} \omega^2 R = 4k (R-R_0)\alpha | ||
| $$ | $$ | ||
| Откуда находим $R$ | Откуда находим $R$ | ||
| $$ | $$ | ||
| \boxed{R = \frac{R_0}{1 − m \omega^2 /4 \pi^2 k}} | \boxed{R = \frac{R_0}{1 − m \omega^2 /4 \pi^2 k}} | ||
| $$ | $$ | ||
| Анализируя полученное полученное выражение, при $R< R_0$ будет действовать результирующая сила упругости $\vec{T}_{н}$ направленная на расстяжение, которое не будет компенсировать центробежной силой. Таким образом, жгут будет бесконечно растягиваться и в конечном счёте разорвётся. | Анализируя полученное полученное выражение, при $R< R_0$ будет действовать результирующая сила упругости $\vec{T}_{н}$ направленная на расстяжение, которое не будет компенсировать центробежной силой. Таким образом, жгут будет бесконечно растягиваться и в конечном счёте разорвётся. | ||
| #### Ответ: | #### Ответ: | ||
| $R = R_0/(1 − m \omega^2 /4 \pi^2 k)$ при $\omega < 2\pi\sqrt{k/m};$ | $R = R_0/(1 − m \omega^2 /4 \pi^2 k)$ при $\omega < 2\pi\sqrt{k/m};$ | ||
| при $\omega\geq 2\pi\sqrt {k/m}$ кольцо неограниченно растягивается | при $\omega\geq 2\pi\sqrt {k/m}$ кольцо неограниченно растягивается | ||
| ### Альтернативное решение: | ### Альтернативное решение: | ||
|  |  | ||
| ещё строк без изменений 55 | |||