Правка разделов «Решение», «Литература»
ru/11.4.3.md
+7 −5
| ### Условие | |||
| $11.4.3^*.$ При переходе вещества в сверхпроводящее состояние только небольшая часть электронов проводимости движется, не испытывая при этом сопротивления. Ток в сверхпроводящем соленоиде индуктивности $L$ «запускают», подключая к соленоиду на время $t$ постоянное напряжение. Максимальный ток в соленоиде $I$. Определите верхний предел количества теплоты, выделяющейся в соленоиде при запуске в нем тока. Перед переходом в сверхпроводящее состояние сопротивление соленоида было $R$. | |||
| @@ -4,7 +4,7 @@Условие | |||
| ### Решение | |||
| − | При включении $RL$-цепи на постоянное напряжение происходит переходный процесс, при котором ток в цепи устанавливается постепенно. Теплоту ищем по закону Джоуля—Ленца в таком виде: | ||
| + | При включении $RL$-цепи на постоянное напряжение происходит переходный процесс, при котором ток в цепи устанавливается постепенно [1]. Теплоту ищем по закону Джоуля—Ленца в таком виде: | ||
| $$ | |||
| W=R\int i^2dt.\tag{1} | |||
| $$ | |||
| Закон изменения тока находится через дифференциальное уравнение по второму правилу Кирхгофа для $RL$-цепи: | |||
| $$ | |||
| @@ -16,7 +16,7 @@Решение | |||
| iR+L\frac{di}{dt}=U. | |||
| $$ | |||
| − | Можно показать [ | ||
| + | Можно показать [2], что с учетом начальных условий данному дифф. уравнению удовлетворяет зависимость: | ||
| $$ | |||
| i=\frac{U}{R}\left(1-e^{-\tfrac{t}{\tau}}\right) | |||
| $$ | |||
| где $\tau=\dfrac{L}{R}$ есть постоянная времени (время, за которое ток в цепи уменьщается в $e$ раз). | |||
| С учетом найденной зависимости тока в цепи перепишем формулу $(1)$, взяв интеграл: | |||
| $$ | |||
| W=\frac{U^2}{R}\left(t+2\tau e^{-\tfrac{t}{\tau}}-\frac{\tau}{2}e^{-2\tfrac{t}{\tau}}\right), | |||
| $$ | |||
| или, в приближении $t\gg\tau$: | |||
| $$ | |||
| W\approx\frac{U^2}{R}t.\tag{2} | |||
| $$ | |||
| Напряжение источника $U$ найдем из закона изменения тока, записанного выше, подстановкой в него значения $I$ тока для момента времени $t$, заданного в условии: | |||
| $$ | |||
| @@ -42,7 +42,7 @@Решение | |||
| U=\frac{IR}{\left(1-e^{-\tfrac{t}{\tau}}\right)}. | |||
| $$ | |||
| − | Преобразуем эту формулу. Пренебрегать слагаемым с экспонентой не можем, так как в таком случае получаем приближение лишь для постоянного тока. Разложим величину $e^{-\tfrac{t}{\tau}}$ в ряд Тейлора до второго члена [ | ||
| + | Преобразуем эту формулу. Пренебрегать слагаемым с экспонентой не можем, так как в таком случае получаем приближение лишь для постоянного тока. Разложим величину $e^{-\tfrac{t}{\tau}}$ в ряд Тейлора до второго члена [3]: $e^{-\tfrac{t}{\tau}}\approx1-\dfrac{t}{\tau}$. Так что: | ||
| $$ | |||
| U\approx\frac{IR\tau}{t}. | |||
| $$ | |||
| Подставляем вот эту формулу в формулу $(2)$ и с учетом $\tau=\dfrac{L}{R}$ после упрощений получаем искомую энергию: | |||
| $$ | |||
| W\approx\frac{L^2I^2}{Rt}. | |||
| $$ | |||
| Примечание: в задачнике 1981 года был пункт про включение соленоида на переменное напряжение через диод, а задача была без «звезды». | |||
| @@ -58,10 +58,12 @@Решение | |||
| #### Литература | |||
| − | [ | ||
| + | [1] Теоретические основы электротехники. Том 2. К. С. Демирчян, Л. Р. Нейман, Н. В. Коровкин, В. Л. Чечурин. 2003. | ||
| + | |||
| + | [2] Д. В. Подлесный. Переходные процессы в $RL$-цепях. Потенциал, 2020, | ||
| №8. | |||
| − | [ | ||
| + | [3] Голубов Б. Что такое ряд Тейлора? «Квант», 1979, №5. | ||
| #### Ответ: $W\approx\dfrac{L^2I^2}{Rt}$. | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $11.4.3^*.$ При переходе вещества в сверхпроводящее состояние только небольшая часть электронов проводимости движется, не испытывая при этом сопротивления. Ток в сверхпроводящем соленоиде индуктивности $L$ «запускают», подключая к соленоиду на время $t$ постоянное напряжение. Максимальный ток в соленоиде $I$. Определите верхний предел количества теплоты, выделяющейся в соленоиде при запуске в нем тока. Перед переходом в сверхпроводящее состояние сопротивление соленоида было $R$. | $11.4.3^*.$ При переходе вещества в сверхпроводящее состояние только небольшая часть электронов проводимости движется, не испытывая при этом сопротивления. Ток в сверхпроводящем соленоиде индуктивности $L$ «запускают», подключая к соленоиду на время $t$ постоянное напряжение. Максимальный ток в соленоиде $I$. Определите верхний предел количества теплоты, выделяющейся в соленоиде при запуске в нем тока. Перед переходом в сверхпроводящее состояние сопротивление соленоида было $R$. | ||
| @@ -4,7 +4,7 @@Условие | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
| При включении $RL$-цепи на постоянное напряжение происходит переходный процесс, при котором ток в цепи устанавливается постепенно. Теплоту ищем по закону Джоуля—Ленца в таком виде: | При включении $RL$-цепи на постоянное напряжение происходит переходный процесс, при котором ток в цепи устанавливается постепенно [1]. Теплоту ищем по закону Джоуля—Ленца в таком виде: | ||
| $$ | $$ | ||
| W=R\int i^2dt.\tag{1} | W=R\int i^2dt.\tag{1} | ||
| $$ | $$ | ||
| Закон изменения тока находится через дифференциальное уравнение по второму правилу Кирхгофа для $RL$-цепи: | Закон изменения тока находится через дифференциальное уравнение по второму правилу Кирхгофа для $RL$-цепи: | ||
| $$ | $$ | ||
| @@ -16,7 +16,7 @@Решение | |||
| iR+L\frac{di}{dt}=U. | iR+L\frac{di}{dt}=U. | ||
| $$ | $$ | ||
| Можно показать [ |
Можно показать [2], что с учетом начальных условий данному дифф. уравнению удовлетворяет зависимость: | ||
| $$ | $$ | ||
| i=\frac{U}{R}\left(1-e^{-\tfrac{t}{\tau}}\right) | i=\frac{U}{R}\left(1-e^{-\tfrac{t}{\tau}}\right) | ||
| $$ | $$ | ||
| где $\tau=\dfrac{L}{R}$ есть постоянная времени (время, за которое ток в цепи уменьщается в $e$ раз). | где $\tau=\dfrac{L}{R}$ есть постоянная времени (время, за которое ток в цепи уменьщается в $e$ раз). | ||
| С учетом найденной зависимости тока в цепи перепишем формулу $(1)$, взяв интеграл: | С учетом найденной зависимости тока в цепи перепишем формулу $(1)$, взяв интеграл: | ||
| $$ | $$ | ||
| W=\frac{U^2}{R}\left(t+2\tau e^{-\tfrac{t}{\tau}}-\frac{\tau}{2}e^{-2\tfrac{t}{\tau}}\right), | W=\frac{U^2}{R}\left(t+2\tau e^{-\tfrac{t}{\tau}}-\frac{\tau}{2}e^{-2\tfrac{t}{\tau}}\right), | ||
| $$ | $$ | ||
| или, в приближении $t\gg\tau$: | или, в приближении $t\gg\tau$: | ||
| $$ | $$ | ||
| W\approx\frac{U^2}{R}t.\tag{2} | W\approx\frac{U^2}{R}t.\tag{2} | ||
| $$ | $$ | ||
| Напряжение источника $U$ найдем из закона изменения тока, записанного выше, подстановкой в него значения $I$ тока для момента времени $t$, заданного в условии: | Напряжение источника $U$ найдем из закона изменения тока, записанного выше, подстановкой в него значения $I$ тока для момента времени $t$, заданного в условии: | ||
| $$ | $$ | ||
| @@ -42,7 +42,7 @@Решение | |||
| U=\frac{IR}{\left(1-e^{-\tfrac{t}{\tau}}\right)}. | U=\frac{IR}{\left(1-e^{-\tfrac{t}{\tau}}\right)}. | ||
| $$ | $$ | ||
| Преобразуем эту формулу. Пренебрегать слагаемым с экспонентой не можем, так как в таком случае получаем приближение лишь для постоянного тока. Разложим величину $e^{-\tfrac{t}{\tau}}$ в ряд Тейлора до второго члена [ |
Преобразуем эту формулу. Пренебрегать слагаемым с экспонентой не можем, так как в таком случае получаем приближение лишь для постоянного тока. Разложим величину $e^{-\tfrac{t}{\tau}}$ в ряд Тейлора до второго члена [3]: $e^{-\tfrac{t}{\tau}}\approx1-\dfrac{t}{\tau}$. Так что: | ||
| $$ | $$ | ||
| U\approx\frac{IR\tau}{t}. | U\approx\frac{IR\tau}{t}. | ||
| $$ | $$ | ||
| Подставляем вот эту формулу в формулу $(2)$ и с учетом $\tau=\dfrac{L}{R}$ после упрощений получаем искомую энергию: | Подставляем вот эту формулу в формулу $(2)$ и с учетом $\tau=\dfrac{L}{R}$ после упрощений получаем искомую энергию: | ||
| $$ | $$ | ||
| W\approx\frac{L^2I^2}{Rt}. | W\approx\frac{L^2I^2}{Rt}. | ||
| $$ | $$ | ||
| Примечание: в задачнике 1981 года был пункт про включение соленоида на переменное напряжение через диод, а задача была без «звезды». | Примечание: в задачнике 1981 года был пункт про включение соленоида на переменное напряжение через диод, а задача была без «звезды». | ||
| @@ -58,10 +58,12 @@Решение | |||
| #### Литература | #### Литература | ||
| [ |
[1] Теоретические основы электротехники. Том 2. К. С. Демирчян, Л. Р. Нейман, Н. В. Коровкин, В. Л. Чечурин. 2003. | ||
| [2] Д. В. Подлесный. Переходные процессы в $RL$-цепях. Потенциал, 2020, | |||
| №8. | №8. | ||
| [ |
[3] Голубов Б. Что такое ряд Тейлора? «Квант», 1979, №5. | ||
| #### Ответ: $W\approx\dfrac{L^2I^2}{Rt}$. | #### Ответ: $W\approx\dfrac{L^2I^2}{Rt}$. | ||