Правка раздела «Решение»

igor правка от 27 мар. 2025 г., 09:53

правка #13829 предыдущая #13828 ← раньше позже →

ru/11.4.3.md +1 −1

			### Условие

			$11.4.3^*.$ При переходе вещества в сверхпроводящее состояние только небольшая часть электронов проводимости движется, не испытывая при этом сопротивления. Ток в сверхпроводящем соленоиде индуктивности $L$ «запускают», подключая к соленоиду на время $t$ постоянное напряжение. Максимальный ток в соленоиде $I$. Определите верхний предел количества теплоты, выделяющейся в соленоиде при запуске в нем тока. Перед переходом в сверхпроводящее состояние сопротивление соленоида было $R$.

			### Решение

			При включении $RL$-цепи на постоянное напряжение происходит переходный процесс, при котором ток в цепи устанавливается постепенно [1]. Теплоту ищем по закону Джоуля—Ленца в таком виде:

			$$
			W=R\int i^2dt.\tag{1}
			$$

			Закон изменения тока находится через дифференциальное уравнение по второму правилу Кирхгофа для $RL$-цепи:

			$$
			iR+L\frac{di}{dt}=U.
			$$

		@@ -19,7 +19,7 @@Решение
			Можно показать [2], что с учетом начальных условий данному дифф. уравнению удовлетворяет зависимость:

			$$
		−	i=\frac{U}{R}\left(1-e^{-\tfrac{t}{\tau}}\right)
		+	i=\frac{U}{R}\left(1-e^{-\tfrac{t}{\tau}}\right),
			$$

			где $\tau=\dfrac{L}{R}$ есть постоянная времени (время, за которое переменная составляющая тока $i$ меняется в $e$ раз).

			С учетом найденной зависимости тока в цепи перепишем формулу $(1)$, взяв интеграл:

			$$
			W=\frac{U^2}{R}\left(t+2\tau e^{-\tfrac{t}{\tau}}-\frac{\tau}{2}e^{-2\tfrac{t}{\tau}}\right),
			$$

			или, в приближении $t\gg\tau$:

			$$
			W\approx\frac{U^2}{R}t.\tag{2}
			$$

			Напряжение источника $U$ найдем из закона изменения тока, записанного выше, подстановкой в него значения $I$ тока для момента времени $t$, заданного в условии:

			$$
			U=\frac{IR}{\left(1-e^{-\tfrac{t}{\tau}}\right)}.
			$$

			Преобразуем эту формулу. Пренебрегать слагаемым с экспонентой не можем, так как в таком случае получаем приближение лишь для постоянного тока. Разложим величину $e^{-\tfrac{t}{\tau}}$ в ряд Тейлора до второго члена [3]: $e^{-\tfrac{t}{\tau}}\approx1-\dfrac{t}{\tau}$. Так что:

			$$
			U\approx\frac{IR\tau}{t}.
			$$

			Подставляем вот эту формулу в формулу $(2)$ и с учетом $\tau=\dfrac{L}{R}$ после упрощений получаем искомую энергию:

			$$
			W\approx\frac{L^2I^2}{Rt}.
			$$

			Примечание: в задачнике 1981 года был пункт про включение соленоида на переменное напряжение через диод, а задача была без «звезды».

			#### Литература

			[1] Теоретические основы электротехники. Том 2. К. С. Демирчян, Л. Р. Нейман, Н. В. Коровкин, В. Л. Чечурин. 2003.

			[2] Д. В. Подлесный. Переходные процессы в $RL$-цепях. Потенциал, 2020, №8.

			[3] Голубов Б. Что такое ряд Тейлора? «Квант», 1979, №5.


			#### Ответ: $W\approx\dfrac{L^2I^2}{Rt}$.
		ещё строк без изменений 43