$11.4.3^*.$ При переходе вещества в сверхпроводящее состояние только небольшая часть электронов проводимости движется, не испытывая при этом сопротивления. Ток в сверхпроводящем соленоиде индуктивности $L$ «запускают», подключая к соленоиду на время $t$ постоянное напряжение. Максимальный ток в соленоиде $I$. Определите верхний предел количества теплоты, выделяющейся в соленоиде при запуске в нем тока. Перед переходом в сверхпроводящее состояние сопротивление соленоида было $R$.
### Решение
При включении $RL$-цепи на постоянное напряжение происходит переходный процесс, при котором ток в цепи устанавливается постепенно [1]. Теплоту ищем по закону Джоуля—Ленца в таком виде:
$$
W=R\int i^2dt.\tag{1}
$$
Закон изменения тока находится через дифференциальное уравнение по второму правилу Кирхгофа для $RL$-цепи:
$$
iR+L\frac{di}{dt}=U.
$$
Можно показать [2], что с учетом начальных условий данному дифф. уравнению удовлетворяет зависимость:
$$
i=\frac{U}{R}\left(1-e^{-\tfrac{t}{\tau}}\right),
$$
где $\tau=\dfrac{L}{R}$ есть постоянная времени (время, за которое переменная составляющая тока $i$ меняется в $e$ раз).
@@ -27,11 +27,13 @@Решение
С учетом найденной зависимости тока в цепи перепишем формулу $(1)$, взяв интеграл:
Константа $C$ интегрирования находится из условия, что, когда $t=0$, то и $W=0$; то есть $C=-\dfrac{U^2}{R}\cdot\dfrac{3}{2}\tau$.
+
Предыдущую формулу рассмотрим в приближении $t\gg\tau$:
+
$$
W\approx\frac{U^2}{R}t.\tag{2}
$$
Напряжение источника $U$ найдем из закона изменения тока, записанного выше, подстановкой в него значения $I$ тока для момента времени $t$, заданного в условии:
$$
U=\frac{IR}{\left(1-e^{-\tfrac{t}{\tau}}\right)}.
$$
Преобразуем эту формулу. Пренебрегать слагаемым с экспонентой не можем, так как в таком случае получаем приближение лишь для постоянного тока. Разложим величину $e^{-\tfrac{t}{\tau}}$ в ряд Тейлора до второго члена [3]: $e^{-\tfrac{t}{\tau}}\approx1-\dfrac{t}{\tau}$. Так что:
$$
U\approx\frac{IR\tau}{t}.
$$
Подставляем вот эту формулу в формулу $(2)$ и с учетом $\tau=\dfrac{L}{R}$ после упрощений получаем искомую энергию:
$$
W\approx\frac{L^2I^2}{Rt}.
$$
Примечание: в задачнике 1981 года есть пункт про включение соленоида на переменное напряжение через диод, при этом задача не отмечена «звездой».
#### Литература
[1] Теоретические основы электротехники. Том 2. К. С. Демирчян, Л. Р. Нейман, Н. В. Коровкин, В. Л. Чечурин. 2003.
[2] Д. В. Подлесный. Переходные процессы в $RL$-цепях. Потенциал, 2020, №8.
@@ -65,4 +67,8 @@Литература
[3] Голубов Б. Что такое ряд Тейлора? «Квант», 1979, №5.
−
#### Ответ: $W\approx\dfrac{L^2I^2}{Rt}$.
+
#### Ответ:
+
+
$$
+
W\approx\dfrac{L^2I^2}{Rt}.
+
$$
### Условие
### Условие
$11.4.3^*.$ При переходе вещества в сверхпроводящее состояние только небольшая часть электронов проводимости движется, не испытывая при этом сопротивления. Ток в сверхпроводящем соленоиде индуктивности $L$ «запускают», подключая к соленоиду на время $t$ постоянное напряжение. Максимальный ток в соленоиде $I$. Определите верхний предел количества теплоты, выделяющейся в соленоиде при запуске в нем тока. Перед переходом в сверхпроводящее состояние сопротивление соленоида было $R$.
$11.4.3^*.$ При переходе вещества в сверхпроводящее состояние только небольшая часть электронов проводимости движется, не испытывая при этом сопротивления. Ток в сверхпроводящем соленоиде индуктивности $L$ «запускают», подключая к соленоиду на время $t$ постоянное напряжение. Максимальный ток в соленоиде $I$. Определите верхний предел количества теплоты, выделяющейся в соленоиде при запуске в нем тока. Перед переходом в сверхпроводящее состояние сопротивление соленоида было $R$.
### Решение
### Решение
При включении $RL$-цепи на постоянное напряжение происходит переходный процесс, при котором ток в цепи устанавливается постепенно [1]. Теплоту ищем по закону Джоуля—Ленца в таком виде:
При включении $RL$-цепи на постоянное напряжение происходит переходный процесс, при котором ток в цепи устанавливается постепенно [1]. Теплоту ищем по закону Джоуля—Ленца в таком виде:
$$
$$
W=R\int i^2dt.\tag{1}
W=R\int i^2dt.\tag{1}
$$
$$
Закон изменения тока находится через дифференциальное уравнение по второму правилу Кирхгофа для $RL$-цепи:
Закон изменения тока находится через дифференциальное уравнение по второму правилу Кирхгофа для $RL$-цепи:
$$
$$
iR+L\frac{di}{dt}=U.
iR+L\frac{di}{dt}=U.
$$
$$
Можно показать [2], что с учетом начальных условий данному дифф. уравнению удовлетворяет зависимость:
Можно показать [2], что с учетом начальных условий данному дифф. уравнению удовлетворяет зависимость:
$$
$$
i=\frac{U}{R}\left(1-e^{-\tfrac{t}{\tau}}\right),
i=\frac{U}{R}\left(1-e^{-\tfrac{t}{\tau}}\right),
$$
$$
где $\tau=\dfrac{L}{R}$ есть постоянная времени (время, за которое переменная составляющая тока $i$ меняется в $e$ раз).
где $\tau=\dfrac{L}{R}$ есть постоянная времени (время, за которое переменная составляющая тока $i$ меняется в $e$ раз).
@@ -27,11 +27,13 @@Решение
С учетом найденной зависимости тока в цепи перепишем формулу $(1)$, взяв интеграл:
С учетом найденной зависимости тока в цепи перепишем формулу $(1)$, взяв интеграл:
Константа $C$ интегрирования находится из условия, что, когда $t=0$, то и $W=0$; то есть $C=-\dfrac{U^2}{R}\cdot\dfrac{3}{2}\tau$.
Предыдущую формулу рассмотрим в приближении $t\gg\tau$:
$$
$$
W\approx\frac{U^2}{R}t.\tag{2}
W\approx\frac{U^2}{R}t.\tag{2}
$$
$$
Напряжение источника $U$ найдем из закона изменения тока, записанного выше, подстановкой в него значения $I$ тока для момента времени $t$, заданного в условии:
Напряжение источника $U$ найдем из закона изменения тока, записанного выше, подстановкой в него значения $I$ тока для момента времени $t$, заданного в условии:
$$
$$
U=\frac{IR}{\left(1-e^{-\tfrac{t}{\tau}}\right)}.
U=\frac{IR}{\left(1-e^{-\tfrac{t}{\tau}}\right)}.
$$
$$
Преобразуем эту формулу. Пренебрегать слагаемым с экспонентой не можем, так как в таком случае получаем приближение лишь для постоянного тока. Разложим величину $e^{-\tfrac{t}{\tau}}$ в ряд Тейлора до второго члена [3]: $e^{-\tfrac{t}{\tau}}\approx1-\dfrac{t}{\tau}$. Так что:
Преобразуем эту формулу. Пренебрегать слагаемым с экспонентой не можем, так как в таком случае получаем приближение лишь для постоянного тока. Разложим величину $e^{-\tfrac{t}{\tau}}$ в ряд Тейлора до второго члена [3]: $e^{-\tfrac{t}{\tau}}\approx1-\dfrac{t}{\tau}$. Так что:
$$
$$
U\approx\frac{IR\tau}{t}.
U\approx\frac{IR\tau}{t}.
$$
$$
Подставляем вот эту формулу в формулу $(2)$ и с учетом $\tau=\dfrac{L}{R}$ после упрощений получаем искомую энергию:
Подставляем вот эту формулу в формулу $(2)$ и с учетом $\tau=\dfrac{L}{R}$ после упрощений получаем искомую энергию:
$$
$$
W\approx\frac{L^2I^2}{Rt}.
W\approx\frac{L^2I^2}{Rt}.
$$
$$
Примечание: в задачнике 1981 года есть пункт про включение соленоида на переменное напряжение через диод, при этом задача не отмечена «звездой».
Примечание: в задачнике 1981 года есть пункт про включение соленоида на переменное напряжение через диод, при этом задача не отмечена «звездой».
#### Литература
#### Литература
[1] Теоретические основы электротехники. Том 2. К. С. Демирчян, Л. Р. Нейман, Н. В. Коровкин, В. Л. Чечурин. 2003.
[1] Теоретические основы электротехники. Том 2. К. С. Демирчян, Л. Р. Нейман, Н. В. Коровкин, В. Л. Чечурин. 2003.
[2] Д. В. Подлесный. Переходные процессы в $RL$-цепях. Потенциал, 2020, №8.
[2] Д. В. Подлесный. Переходные процессы в $RL$-цепях. Потенциал, 2020, №8.
@@ -65,4 +67,8 @@Литература
[3] Голубов Б. Что такое ряд Тейлора? «Квант», 1979, №5.
[3] Голубов Б. Что такое ряд Тейлора? «Квант», 1979, №5.
