Прошлая модель решения некоррректна

igor правка от
Посмотреть решение История
правка #22159 предыдущая #14432 ← раньше позже →
ru/11.4.3.md +46 −22
@@ -1,74 +1,98 @@
### Условие
$11.4.3^*.$ При переходе вещества в сверхпроводящее состояние только небольшая часть электронов проводимости движется, не испытывая при этом сопротивления. Ток в сверхпроводящем соленоиде индуктивности $L$ «запускают», подключая к соленоиду на время $t$ постоянное напряжение. Максимальный ток в соленоиде $I$. Определите верхний предел количества теплоты, выделяющейся в соленоиде при запуске в нем тока. Перед переходом в сверхпроводящее состояние сопротивление соленоида было $R$.
+
### Решение
−При включении $RL$-цепи на постоянное напряжение происходит переходный процесс, при котором ток в цепи устанавливается постепенно [1]. Теплоту ищем по закону Джоуля—Ленца в таком виде:
+Сначала теория из книги Шмидт В.В. «Введение в физику сверхпроводников» [1].
+Согласно теории Лондонов, электроны в сверхпроводнике можно рассматривать как совокупность двух электронных коллективов: сверхпроводящей и нормальной электронных компонент. Плотность сверхпроводящих электронов $n_s$ должна уменьшаться с повышением температуры и обращаться в нуль при $T = T_c$. Наоборот, при $T = 0$ величина $n_s$ должна равняться плотности всех свободных электронов металла. Это — формулировка так называемой двухжидкостной модели сверхпроводника.
+
+Ток сверхпроводящих электронов — это ток без сопротивления. Ясно, что постоянного электрического поля при этом в сверхпроводнике быть не может, так как в противном случае это привело бы к неограниченному ускорению коллектива сверхпроводящих электронов. Поэтому в стационарных условиях, когда электрического поля нет, нормальные электроны покоятся. Наоборот, в переменном электрическом поле есть и ток сверхпроводящих электронов, и ток нормальной компоненты. При этом нормальный ток подчиняется обычному закону Ома.
+
+Реальный сверхпроводник в этой модели можно моделировать эквивалентной схемой, в которой <i>нормальное сопротивление и идеальный проводник соединены параллельно</i>. Идеальный проводник при этом должен иметь некоторую индуктивность, с помощью которой можно моделировать инерциальные свойства сверхпроводящих электронов.
+
+Считаем, что данная индуктивность $L$ составляет индуктивность сверхпроводящей ветви (в ней будет <i>сверхпроводящий ток</i>), сопротивление $R$ составляет сопротивление нормальной ветви (в ней будет <i>нормальный ток</i>). Получился параллельный участок, который подключается на постоянное напряжение $U$ (на идеальное ЭДС $U$).
+
+Сверхпроводящий ток тогда
+
$$
−W=R\int i^2dt.\tag{1}
+i_s = \frac{U}{L}t
$$
−Закон изменения тока находится через дифференциальное уравнение по второму правилу Кирхгофа для $RL$-цепи:
+(из второго правила Кирхгофа для контура «источник — сверхпроводящая ветвь»; см. задачу $11.4.1$).
+Нормальный ток
+
$$
−iR+L\frac{di}{dt}=U.
+i_n = \frac{U}{R}.
$$
−Можно показать [2], что с учетом начальных условий данному дифф. уравнению удовлетворяет зависимость:
+Тепло на $R$, конечно,
$$
−i=\frac{U}{R}\left(1-e^{-\tfrac{t}{\tau}}\right),
+Q = i_n^2Rt.\tag{1}
$$
−где $\tau=\dfrac{L}{R}$ есть постоянная времени (время, за которое переменная составляющая тока $i$ меняется в $e$ раз).
+Наложим на $i_n$ особенность следующую. Сравним токи ветвей
−С учетом найденной зависимости тока в цепи перепишем формулу $(1)$, взяв интеграл:
+$$
+\frac{i_s}{i_n} = \frac{t}{(L/R)},
+$$
+где $L/R$ есть постоянная времени переходного процесса обычной катушки.
+
+Так как $L/R$ часто указывается в <i>миллисекундах</i>, то посчитаем время подключения $t$ относительно большим
+
$$
−W=\frac{U^2}{R}\left(t+2\tau e^{-\tfrac{t}{\tau}}-\frac{\tau}{2}e^{-2\tfrac{t}{\tau}}\right)+C.
+\boxed{t\gg L/R},
$$
−Константа $C$ интегрирования находится из условия, что, когда $t=0$, то и $W=0$; то есть $C=-\dfrac{U^2}{R}\cdot\dfrac{3}{2}\tau$.
+и получаем $i_s \gg i_n$.
−Предыдущую формулу рассмотрим в приближении $t\gg\tau$:
+По сумме токов это дает
$$
−W\approx\frac{U^2}{R}t.\tag{2}
+I \approx i_s
$$
−Напряжение источника $U$ найдем из закона изменения тока, записанного выше, подстановкой в него значения $I$ тока для момента времени $t$, заданного в условии:
+практически на всей области процесса и дальнейшие упрощения формулы $(1)$ через формулу первого правила Кирхгофа $I = i_s + i_n$ становятся бессмысленными.
+Делаем так тогда. Из формул для $i_s$ и $i_n$ получаем
+
$$
−U=\frac{IR}{\left(1-e^{-\tfrac{t}{\tau}}\right)}.
+i_n = \frac{i_sL}{Rt}
$$
−Преобразуем эту формулу. Пренебрегать слагаемым с экспонентой не можем, так как в таком случае получаем приближение лишь для постоянного тока. Разложим величину $e^{-\tfrac{t}{\tau}}$ в ряд Тейлора до второго члена [3]: $e^{-\tfrac{t}{\tau}}\approx1-\dfrac{t}{\tau}$. Так что:
+(величина постоянная, как и положено для нормальной ветви).
+И для теплоты пишем
+
$$
−U\approx\frac{IR\tau}{t}.
+Q = \left(\frac{i_sL}{Rt}\right)^2Rt.
$$
−Подставляем вот эту формулу в формулу $(2)$ и с учетом $\tau=\dfrac{L}{R}$ после упрощений получаем искомую энергию:
+Что дает с учетом $i_s \approx I$
$$
−W\approx\frac{L^2I^2}{Rt}.
+\boxed{Q \approx \frac{I^2L^2}{Rt}.}
$$
Примечание: в задачнике 1981 года есть пункт про включение соленоида на переменное напряжение через диод, при этом задача не отмечена «звездой».
+
#### Литература
−[1] Теоретические основы электротехники. Том 2. К. С. Демирчян, Л. Р. Нейман, Н. В. Коровкин, В. Л. Чечурин. 2003.
+[1] Шмидт В.В. Введение в физику сверхпроводников. МЦНМО, 2000. (Стр. 24, 25.)
−[2] Д. В. Подлесный. Переходные процессы в $RL$-цепях. Потенциал, 2020, №8.
+[2] О.Я. Савченко. Задачи по физике. 2008. (Задача $11.4.1$.)
−[3] Голубов Б. Что такое ряд Тейлора? «Квант», 1979, №5.
+[3] Гинзбург В.Л., Андрюшин Е.А. Сверхпроводимость. 1990. (Стр. 31, 32.)
#### Ответ:
$$
−W\approx\dfrac{L^2I^2}{Rt}.
+Q \approx \dfrac{L^2I^2}{Rt}.
$$