Edits to “Условие”, “Альтернативное решение”
ru/1.5.16.md
+2 −5
| @@ -1,8 +1,8 @@ | |||
| ### Условие: | |||
| $ 1.5.16.$ Стержень упирается своими концами в стороны прямого угла. Верхний конец стержня поднимают со скоростью $v$. Найдите, как зависит от времени скорость его нижнего конца. За начало отсчета времени принять момент, когда верхний конец находится в вершине угла. Длина стержня $L$. | |||
| − |  | ||
| + |  | ||
| ### Решение: | |||
|  | |||
| __NO__: Перед просмотром решения данной задачи, советую ознакомиться с решением [1.5.14](../1.5.14) и [1.5.15](../1.5.15) | |||
| В момент времени $t$ высота, на которую поднялся верхний конец | |||
| $$y = v t\quad(1)$$ | |||
| Рассмотрим изменение координаты $x = \sqrt{L^2-y^2}$ за малый промежуток времени $dt$ | |||
| $$dx = \frac{ydy}{\sqrt{L^2 - y^2}}$$ | |||
| Учитывая, что $v = \frac{dy}{dt}$ и $v_A = \frac{dx}{dt}$ | |||
| $$v_A = \frac{vy}{\sqrt{L^2 - y^2}}$$ | |||
| Подставляем $(1)$ | |||
| $$\fbox{$v_A = \frac{v^2t}{\sqrt{L^2 - v^2t^2}}$}$$ | |||
| ### Ответ: $v_A = \frac{v^2t}{\sqrt{L^2 - v^2t^2}}$ | |||
| ### Альтернативное решение: | |||
|  | |||
| Координата верхнего конца может быть найдена как | |||
| $$y=\upsilon t$$ | |||
| Проекции скоростей обоих концов на направление стержня равны: | |||
| $$\upsilon\cos\alpha =u\cos(90^{\circ}-\alpha )$$ | |||
| $$\upsilon\cos\alpha =u\sin\alpha$$ | |||
| $$u=\upsilon\operatorname{ctg}\alpha =\upsilon\frac{y}{x}$$ | |||
| По теореме Пифагора | |||
| $$x^2+y^2=L^2$$ | |||
| $$x=\sqrt{L^2-y^2}=\sqrt{L^2-\upsilon^2t^2}$$ | |||
| Так как скорость $u$ направлена против оси $x$, то | |||
| $$x’=-u$$ | |||
| $$u=-\frac{\frac{1}{2}\cdot 2t\cdot (-\upsilon^2)}{\sqrt{L^2-\upsilon^2t^2}}$$ | |||
| @@ -58,7 +58,4 @@Альтернативное решение: | |||
| $$u=\frac{t\cdot \upsilon^2}{\sqrt{L^2-\upsilon^2t^2}}$$ | |||
| − | Если соединить центр стержня с вершиной прямого угла, то этот отрезок будет медианой прямоугольного треугольника и равен будет половине длины гипотенузы. Получается, что центр стержня движется по окружности с центром в точке | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| + | Если соединить центр стержня с вершиной прямого угла, то этот отрезок будет медианой прямоугольного треугольника и равен будет половине длины гипотенузы. Получается, что центр стержня движется по окружности с центром в точке $O$. | ||
| @@ -1,8 +1,8 @@ | |||
| ### Условие: | ### Условие: | ||
| $ 1.5.16.$ Стержень упирается своими концами в стороны прямого угла. Верхний конец стержня поднимают со скоростью $v$. Найдите, как зависит от времени скорость его нижнего конца. За начало отсчета времени принять момент, когда верхний конец находится в вершине угла. Длина стержня $L$. | $ 1.5.16.$ Стержень упирается своими концами в стороны прямого угла. Верхний конец стержня поднимают со скоростью $v$. Найдите, как зависит от времени скорость его нижнего конца. За начало отсчета времени принять момент, когда верхний конец находится в вершине угла. Длина стержня $L$. | ||
|  |  | ||
| ### Решение: | ### Решение: | ||
|  |  | ||
| __NO__: Перед просмотром решения данной задачи, советую ознакомиться с решением [1.5.14](../1.5.14) и [1.5.15](../1.5.15) | __NO__: Перед просмотром решения данной задачи, советую ознакомиться с решением [1.5.14](../1.5.14) и [1.5.15](../1.5.15) | ||
| В момент времени $t$ высота, на которую поднялся верхний конец | В момент времени $t$ высота, на которую поднялся верхний конец | ||
| $$y = v t\quad(1)$$ | $$y = v t\quad(1)$$ | ||
| Рассмотрим изменение координаты $x = \sqrt{L^2-y^2}$ за малый промежуток времени $dt$ | Рассмотрим изменение координаты $x = \sqrt{L^2-y^2}$ за малый промежуток времени $dt$ | ||
| $$dx = \frac{ydy}{\sqrt{L^2 - y^2}}$$ | $$dx = \frac{ydy}{\sqrt{L^2 - y^2}}$$ | ||
| Учитывая, что $v = \frac{dy}{dt}$ и $v_A = \frac{dx}{dt}$ | Учитывая, что $v = \frac{dy}{dt}$ и $v_A = \frac{dx}{dt}$ | ||
| $$v_A = \frac{vy}{\sqrt{L^2 - y^2}}$$ | $$v_A = \frac{vy}{\sqrt{L^2 - y^2}}$$ | ||
| Подставляем $(1)$ | Подставляем $(1)$ | ||
| $$\fbox{$v_A = \frac{v^2t}{\sqrt{L^2 - v^2t^2}}$}$$ | $$\fbox{$v_A = \frac{v^2t}{\sqrt{L^2 - v^2t^2}}$}$$ | ||
| ### Ответ: $v_A = \frac{v^2t}{\sqrt{L^2 - v^2t^2}}$ | ### Ответ: $v_A = \frac{v^2t}{\sqrt{L^2 - v^2t^2}}$ | ||
| ### Альтернативное решение: | ### Альтернативное решение: | ||
|  |  | ||
| Координата верхнего конца может быть найдена как | Координата верхнего конца может быть найдена как | ||
| $$y=\upsilon t$$ | $$y=\upsilon t$$ | ||
| Проекции скоростей обоих концов на направление стержня равны: | Проекции скоростей обоих концов на направление стержня равны: | ||
| $$\upsilon\cos\alpha =u\cos(90^{\circ}-\alpha )$$ | $$\upsilon\cos\alpha =u\cos(90^{\circ}-\alpha )$$ | ||
| $$\upsilon\cos\alpha =u\sin\alpha$$ | $$\upsilon\cos\alpha =u\sin\alpha$$ | ||
| $$u=\upsilon\operatorname{ctg}\alpha =\upsilon\frac{y}{x}$$ | $$u=\upsilon\operatorname{ctg}\alpha =\upsilon\frac{y}{x}$$ | ||
| По теореме Пифагора | По теореме Пифагора | ||
| $$x^2+y^2=L^2$$ | $$x^2+y^2=L^2$$ | ||
| $$x=\sqrt{L^2-y^2}=\sqrt{L^2-\upsilon^2t^2}$$ | $$x=\sqrt{L^2-y^2}=\sqrt{L^2-\upsilon^2t^2}$$ | ||
| Так как скорость $u$ направлена против оси $x$, то | Так как скорость $u$ направлена против оси $x$, то | ||
| $$x’=-u$$ | $$x’=-u$$ | ||
| $$u=-\frac{\frac{1}{2}\cdot 2t\cdot (-\upsilon^2)}{\sqrt{L^2-\upsilon^2t^2}}$$ | $$u=-\frac{\frac{1}{2}\cdot 2t\cdot (-\upsilon^2)}{\sqrt{L^2-\upsilon^2t^2}}$$ | ||
| @@ -58,7 +58,4 @@Альтернативное решение: | |||
| $$u=\frac{t\cdot \upsilon^2}{\sqrt{L^2-\upsilon^2t^2}}$$ | $$u=\frac{t\cdot \upsilon^2}{\sqrt{L^2-\upsilon^2t^2}}$$ | ||
| Если соединить центр стержня с вершиной прямого угла, то этот отрезок будет медианой прямоугольного треугольника и равен будет половине длины гипотенузы. Получается, что центр стержня движется по окружности с центром в точке |
Если соединить центр стержня с вершиной прямого угла, то этот отрезок будет медианой прямоугольного треугольника и равен будет половине длины гипотенузы. Получается, что центр стержня движется по окружности с центром в точке $O$. | ||