New solution

astrosander edited
View solution History
revision #13891 parent #11783 ← older
ru/1.5.16.md +87 −0
@@ -0,0 +1,87 @@
+### Условие:
+
+$ 1.5.16.$ Стержень упирается своими концами в стороны прямого угла. Верхний конец стержня поднимают со скоростью $v$. Найдите, как зависит от времени скорость его нижнего конца. За начало отсчета времени принять момент, когда верхний конец находится в вершине угла. Длина стержня $L$.
+
+![ К задаче $1.5.16$ |411x332, 31%](../../img/1.5.16/statement.png)
+
+### Решение:
+
+![ Распределение скоростей концей стержня |486x375, 41%](../../img/1.5.16/draw.png)
+
+__NO__: Перед просмотром решения данной задачи, советую ознакомиться с решением [1.5.14](../1.5.14) и [1.5.15](../1.5.15)
+
+В момент времени $t$ высота, на которую поднялся верхний конец
+
+$$
+y = v t\tag{1}
+$$
+
+Рассмотрим изменение координаты $x = \sqrt{L^2-y^2}$ за малый промежуток времени $dt$
+
+$$
+dx = \frac{ydy}{\sqrt{L^2 - y^2}}
+$$
+
+Учитывая, что $v = \frac{dy}{dt}$ и $v_A = \frac{dx}{dt}$
+
+$$
+v_A = \frac{vy}{\sqrt{L^2 - y^2}}
+$$
+
+Подставляем $(1)$
+
+$$
+\fbox{$v_A = \frac{v^2t}{\sqrt{L^2 - v^2t^2}}$}
+$$
+
+#### Ответ: $v_A = \frac{v^2t}{\sqrt{L^2 - v^2t^2}}$
+
+### Альтернативное решение:
+
+![ Распределение скоростей концей стержня |524x514, 41%](../../img/1.5.16/draw1.png)
+
+Координата верхнего конца может быть найдена как
+
+$$
+y=\upsilon t
+$$
+
+Проекции скоростей обоих концов на направление стержня равны:
+
+$$
+\upsilon\cos\alpha =u\cos(90^{\circ}-\alpha )
+$$
+
+$$
+\upsilon\cos\alpha =u\sin\alpha
+$$
+
+$$
+u=\upsilon\operatorname{ctg}\alpha =\upsilon\frac{y}{x}
+$$
+
+По теореме Пифагора
+
+$$
+x^2+y^2=L^2
+$$
+
+$$
+x=\sqrt{L^2-y^2}=\sqrt{L^2-\upsilon^2t^2}
+$$
+
+Так как скорость $u$ направлена против оси $x$, то
+
+$$
+x’=-u
+$$
+
+$$
+u=-\frac{\frac{1}{2}\cdot 2t\cdot (-\upsilon^2)}{\sqrt{L^2-\upsilon^2t^2}}
+$$
+
+$$
+u=\frac{t\cdot \upsilon^2}{\sqrt{L^2-\upsilon^2t^2}}
+$$
+
+Если соединить центр стержня с вершиной прямого угла, то этот отрезок будет медианой прямоугольного треугольника и равен будет половине длины гипотенузы. Получается, что центр стержня движется по окружности с центром в точке $O$.