| <!DOCTYPE html> | | <!DOCTYPE html> |
| <html lang="ru"> | | <html lang="ru"> |
| | | |
| <head> | | <head> |
| <meta charset="utf-8"> | | <meta charset="utf-8"> |
| <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> | | <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> |
| <meta http-equiv="content-language" content="ru"> | | <meta http-equiv="content-language" content="ru"> |
| <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> | | <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> |
| <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я."> | | <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я."> |
| <meta property="og:title" content="Решебник Савченко"> | | <meta property="og:title" content="Решебник Савченко"> |
| <meta property="og:image" content="img/logo.png"> | | <meta property="og:image" content="img/logo.png"> |
| <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сборника задач Савенко О.Я."> | | <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сборника задач Савенко О.Я."> |
| <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368"> | | <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368"> |
| <title>Решебник Савченко</title> | | <title>Решебник Савченко</title> |
| <link rel="stylesheet" href="../../css/css-latex/style.css"> | | <link rel="stylesheet" href="../../css/css-latex/style.css"> |
| <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png"> | | <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png"> |
| <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script> | | <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script> |
| <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script> | | <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script> |
| <script type="text/x-mathjax-config"> | | <script type="text/x-mathjax-config"> |
| MathJax.Hub.Config({ | | MathJax.Hub.Config({ |
| extensions: ['tex2jax.js'], | | extensions: ['tex2jax.js'], |
| jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'], | | jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'], |
| tex2jax: { | | tex2jax: { |
| inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']], | | inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']], |
| processEscapes: true, | | processEscapes: true, |
| processClass: 'tex2jax', | | processClass: 'tex2jax', |
| ignoreClass: 'html' | | ignoreClass: 'html' |
| }, | | }, |
| showProcessingMessages: false, | | showProcessingMessages: false, |
| messageStyle: 'none' | | messageStyle: 'none' |
| }); | | }); |
| </script> | | </script> |
| </p> | | </p> |
| </header> | | </header> |
| | | |
| <h3 id="back-link"><a href="../../ru#1.5">$\leftarrow$Назад</a></h3> | | <h3 id="back-link"><a href="../../ru#1.5">$\leftarrow$Назад</a></h3> |
| | | |
| <h3> Условие: </h3> | | <h3> Условие: </h3> |
| | | |
| <p> | | <p> |
| $ 1.5.16.$ Стержень упирается своими концами в стороны прямого угла. Верхний конец стержня поднимают со скоростью $v$. Найдите, как зависит от времени скорость его нижнего конца. За начало отсчета времени принять момент, когда верхний конец находится в вершине угла. Длина стержня $L$. | | $ 1.5.16.$ Стержень упирается своими концами в стороны прямого угла. Верхний конец стержня поднимают со скоростью $v$. Найдите, как зависит от времени скорость его нижнего конца. За начало отсчета времени принять момент, когда верхний конец находится в вершине угла. Длина стержня $L$. |
| </p> | | </p> |
| <center> | | <center> |
| <figure> | | <figure> |
| <img src="statement.png" | | <img src="statement.png" |
| loading="lazy" width="180" /> | | loading="lazy" width="180" /> |
| <figcaption> | | <figcaption> |
| К задаче 1.5.16 | | К задаче 1.5.16 |
| </figcaption> | | </figcaption> |
| </figure> | | </figure> |
| </center> | | </center> |
| | | |
| <h3> Решение: </h3> | | <h3> Решение: </h3> |
| | | |
| <center> | | <center> |
| <figure> | | <figure> |
| <img src="draw.png" | | <img src="draw.png" |
| loading="lazy" width="240" /> | | loading="lazy" width="240" /> |
| <figcaption> | | <figcaption> |
| Распределение скоростей концей стержня | | Распределение скоростей концей стержня |
| </figcaption> | | </figcaption> |
| </figure> | | </figure> |
| </center> | | </center> |
| | | |
| | | |
| <p>NO: Перед просмотром решения данной задачи, советую ознакомиться с решением <a href="../1.5.14">1.5.14</a> и <a href="../1.5.15">1.5.15</a></p> | | <p>NO: Перед просмотром решения данной задачи, советую ознакомиться с решением <a href="../1.5.14">1.5.14</a> и <a href="../1.5.15">1.5.15</a></p> |
| <p>В момент времени $t$ высота, на которую поднялся верхний конец</p> | | <p>В момент времени $t$ высота, на которую поднялся верхний конец</p> |
| <p> $$y = v t\;(1)$$ </p> | | <p> $$y = v t\;(1)$$ </p> |
| <p>Рассмотрим изменение координаты $x = \sqrt{L^2-y^2}$ за малый промежуток времени $dt$</p> | | <p>Рассмотрим изменение координаты $x = \sqrt{L^2-y^2}$ за малый промежуток времени $dt$</p> |
| <p> $$dx = \frac{ydy}{\sqrt{L^2 - y^2}}$$ </p> | | <p> $$dx = \frac{ydy}{\sqrt{L^2 - y^2}}$$ </p> |
| <p>Учитывая, что $v = \frac{dy}{dt}$ и $v_A = \frac{dx}{dt}$</p> | | <p>Учитывая, что $v = \frac{dy}{dt}$ и $v_A = \frac{dx}{dt}$</p> |
| <p> $$v_A = \frac{vy}{\sqrt{L^2 - y^2}}$$ </p> | | <p> $$v_A = \frac{vy}{\sqrt{L^2 - y^2}}$$ </p> |
| <p>Подставляем $(1)$</p> | | <p>Подставляем $(1)$</p> |
| <p> $$\fbox{$v_A = \frac{v^2t}{\sqrt{L^2 - v^2t^2}}$}$$ </p> | | <p> $$\fbox{$v_A = \frac{v^2t}{\sqrt{L^2 - v^2t^2}}$}$$ </p> |
| | | |
| <h3> Ответ: $v_A = \frac{v^2t}{\sqrt{L^2 - v^2t^2}}$</h3> | | <h3> Ответ: $v_A = \frac{v^2t}{\sqrt{L^2 - v^2t^2}}$</h3> |
| <h3> Альтернативное решение: </h3> | | <h3> Альтернативное решение: </h3> |
| <center> | | <center> |
| <figure> | | <figure> |
| <img src="draw1.png" | | <img src="draw1.png" |
| loading="lazy" width="240" /> | | loading="lazy" width="240" /> |
| <figcaption> | | <figcaption> |
| Распределение скоростей концей стержня | | Распределение скоростей концей стержня |
| </figcaption> | | </figcaption> |
| </figure> | | </figure> |
| </center> | | </center> |
| | | |
| <p>Координата верхнего конца может быть найдена как</p> | | <p>Координата верхнего конца может быть найдена как</p> |
| <p>$$y=\upsilon t$$</p> | | <p>$$y=\upsilon t$$</p> |
| <p>Проекции скоростей обоих концов на направление стержня равны:</p> | | <p>Проекции скоростей обоих концов на направление стержня равны:</p> |
| <p>$$\upsilon \cos\alpha=u\cos(90^{\circ}-\alpha)$$</p> | | <p>$$\upsilon \cos\alpha=u\cos(90^{\circ}-\alpha)$$</p> |
| <p>$$\upsilon \cos\alpha=u\sin\alpha$$</p> | | <p>$$\upsilon \cos\alpha=u\sin\alpha$$</p> |
| <p>$$u=\upsilon \operatorname{ctg}\alpha=\upsilon\frac{y}{x}$$</p> | | <p>$$u=\upsilon \operatorname{ctg}\alpha=\upsilon\frac{y}{x}$$</p> |
| <p>По теореме Пифагора</p> | | <p>По теореме Пифагора</p> |
| <p>$$x^2+y^2=L^2$$</p> | | <p>$$x^2+y^2=L^2$$</p> |
| <p>$$x=\sqrt{L^2-y^2}=\sqrt{L^2-\upsilon^2t^2}$$</p> | | <p>$$x=\sqrt{L^2-y^2}=\sqrt{L^2-\upsilon^2t^2}$$</p> |
| <p>Так как скорость $u$ направлена против оси $x$, то</p> | | <p>Так как скорость $u$ направлена против оси $x$, то</p> |
| <p>$$x’=-u$$</p> | | <p>$$x’=-u$$</p> |
| <p>$$u=-\frac{\frac{1}{2}\cdot 2t\cdot (-\upsilon^2)}{\sqrt{L^2-\upsilon^2t^2}}$$</p> | | <p>$$u=-\frac{\frac{1}{2}\cdot 2t\cdot (-\upsilon^2)}{\sqrt{L^2-\upsilon^2t^2}}$$</p> |
| <p>$$u=\frac{t\cdot \upsilon^2}{\sqrt{L^2-\upsilon^2t^2}}$$</p> | | <p>$$u=\frac{t\cdot \upsilon^2}{\sqrt{L^2-\upsilon^2t^2}}$$</p> |
| <p> </p> | | <p> </p> |
| <p>Если соединить центр стержня с вершиной прямого угла, то этот отрезок будет медианой прямоугольного треугольника и равен будет половине длины гипотенузы. Получается, что центр стержня движется по окружности с центром в точке О.</p> | | <p>Если соединить центр стержня с вершиной прямого угла, то этот отрезок будет медианой прямоугольного треугольника и равен будет половине длины гипотенузы. Получается, что центр стержня движется по окружности с центром в точке О.</p> |
| <p> </p> | | <p> </p> |
| <br> | | <br> |
| | | |
| <footer class="row container"> | | <footer class="row container"> |
| <br> | | <br> |
| <p> | | <p> |
| <small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small> | | <small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small> |
| </p> | | </p> |
| <p> | | <p> |
| <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small> | | <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small> |
| </p> | | </p> |
| </footer> | | </footer> |
| </body> | | </body> |
| | | |
| </html> | | </html> |
