Added 1.5.17; Updated 1.5.15-16

astrosander edited
View solution History
revision #1521 parent #1518 GitHub f95472d ← older newer →
ru/1.5.16.md +36 −9
@@ -64,23 +64,50 @@
<img src="draw.png"
loading="lazy" width="240" />
<figcaption>
− Распределение скоростей на нитях
+ Распределение скоростей концей стержня
</figcaption>
</figure>
</center>
<p>NO: Перед просмотром решения данной задачи, советую ознакомиться с решением <a href="../1.5.14">1.5.14</a> и <a href="../1.5.15">1.5.15</a></p>
− <p>В момент времени $t$ высота, на которую поднялся верхний конец</p>
− <p class="exp"> $y = v t\;(1)$ </p>
− <p>Рассмотрим изменение координаты $x = \sqrt{L^2-y^2}$ за малый промежуток времени $dt$</p>
− <p class="exp"> $dx = \frac{ydy}{\sqrt{L^2 - y^2}}$ </p>
− <p>Учитывая, что $v = \frac{dy}{dt}$ и $v_A = \frac{dx}{dt}$</p>
− <p class="exp"> $v_A = \frac{vy}{\sqrt{L^2 - y^2}}$ </p>
− <p>Подставляем $(1)$</p>
− <p class="exp"> $\fbox{$v_A = \frac{v^2t}{\sqrt{L^2 - v^2t^2}}$}$ </p>
+ <p>В момент времени $t$ высота, на которую поднялся верхний конец</p>
+ <p> $$y = v t\;(1)$$ </p>
+ <p>Рассмотрим изменение координаты $x = \sqrt{L^2-y^2}$ за малый промежуток времени $dt$</p>
+ <p> $$dx = \frac{ydy}{\sqrt{L^2 - y^2}}$$ </p>
+ <p>Учитывая, что $v = \frac{dy}{dt}$ и $v_A = \frac{dx}{dt}$</p>
+ <p> $$v_A = \frac{vy}{\sqrt{L^2 - y^2}}$$ </p>
+ <p>Подставляем $(1)$</p>
+ <p> $$\fbox{$v_A = \frac{v^2t}{\sqrt{L^2 - v^2t^2}}$}$$ </p>
<h3> Ответ: $v_A = \frac{v^2t}{\sqrt{L^2 - v^2t^2}}$</h3>
+ <h3> Альтернативное решение: </h3>
+ <center>
+ <figure>
+ <img src="draw1.png"
+ loading="lazy" width="240" />
+ <figcaption>
+ Распределение скоростей концей стержня
+ </figcaption>
+ </figure>
+ </center>
+
+ <p>Координата верхнего конца может быть найдена как</p>
+ <p>$$y=\upsilon t$$</p>
+ <p>Проекции скоростей обоих концов на направление стержня равны:</p>
+ <p>$$\upsilon \cos\alpha=u\cos(90^{\circ}-\alpha)$$</p>
+ <p>$$\upsilon \cos\alpha=u\sin\alpha$$</p>
+ <p>$$u=\upsilon \operatorname{ctg}\alpha=\upsilon\frac{y}{x}$$</p>
+ <p>По теореме Пифагора</p>
+ <p>$$x^2+y^2=L^2$$</p>
+ <p>$$x=\sqrt{L^2-y^2}=\sqrt{L^2-\upsilon^2t^2}$$</p>
+ <p>Так как скорость $u$ направлена против оси $x$, то</p>
+ <p>$$x’=-u$$</p>
+ <p>$$u=-\frac{\frac{1}{2}\cdot 2t\cdot (-\upsilon^2)}{\sqrt{L^2-\upsilon^2t^2}}$$</p>
+ <p>$$u=\frac{t\cdot \upsilon^2}{\sqrt{L^2-\upsilon^2t^2}}$$</p>
+ <p>&nbsp;</p>
+ <p>Если соединить центр стержня с вершиной прямого угла, то этот отрезок будет медианой прямоугольного треугольника и равен будет половине длины гипотенузы. Получается, что центр стержня движется по окружности с центром в точке О.</p>
+ <p>&nbsp;</p>
<br>
<footer class="row container">
unchanged lines 10