Edit to “Решение”

astrosander edited Jan 12, 2025, 1:14 AM

View solution History

revision #12769 parent #12265 ← older

ru/6.6.21.md +1 −1

			### Условие:

			$6.6.21.$ В широкий сосуд с жидкостью ставится вертикально плоский конденсатор так, что нижняя часть пластин конденсатора погружается в жидкость. Конденсатор подключён к батарее, которая поддерживает на обкладках конденсатора разность потенциалов $V$. Расстояние между пластинами конденсатора $d$, плотность жидкости $\rho$, диэлектрическая проницаемость $\varepsilon $. Жидкость несжимаема. На какую высоту поднимется жидкость? Поверхностным натяжением пренебречь.

			![К задаче $6.6.21.$\|561x439, 50%](../../img/6.6.21/statement.png)

			### Решение:

			Пусть столб жидкости поднялся на высоту $h$ Емкость конденсатора представит емкость паралельных конденсаторов $C_1$ и $C_2$

			![К задаче 6.6.20\|688x399, 50%](../../img/6.6.21/sol1.png)
		@@ -12,7 +12,7 @@Решение:

			Что сводится к предыдущещей [6.6.20](/ru/6.6.20)!

		−	Ёмкость конденсатора представит емкость паралельных конденсаторов $C_1$ и $C_2$ для обкладок размера $a ~~\cdot~~ a$
		+	Ёмкость конденсатора представит емкость паралельных конденсаторов $C_1$ и $C_2$ для обкладок размера $a \times a$

			$$
			C_1 = \frac{\varepsilon_0 a}{d}(a-x)
			$$

			$$
			C_2 = \frac{\varepsilon_0 a x\varepsilon }{d}
			$$

			Полная ёмкость системы конденсаторов:

			$$
			C = C_1+C_2=\frac{\varepsilon_0 a}{d}(a+x(\varepsilon -1))
			$$

			Расчитаем энергию $E=\frac{CV^2}{2}$ этой системы:

			$$
			E_С=\frac{\varepsilon_0 a V^2}{2d}(a+x(\varepsilon -1))
			$$

			Потенциальная энергия столба жидкости составит:

			$$
			E_P=-\rho g da \frac{h^2}{2}
			$$

			Полная энергия:

			$$
			E=E_P+E_С=-\rho g da \frac{h^2}{2}+\frac{\varepsilon_0 a V^2}{2d}(a+h(\varepsilon -1))
			$$

			Энергия будет минимальна при $\frac{dE}{dh}=0$:

			$$
			\frac{\varepsilon_0(\varepsilon -1) a V^2}{2d}-\rho g dah=0
			$$

			Выражаем высоту на которую поднимется столб жидкости

			$$
			h=\frac{\varepsilon_0 (\varepsilon -1)V^2}{2 \rho gd^2 }
			$$

			#### Ответ: $h=\frac{\varepsilon_0 (\varepsilon -1)V^2}{2 \rho gd^2 }$
		unchanged lines 43

	### Условие:		### Условие:

	$6.6.21.$ В широкий сосуд с жидкостью ставится вертикально плоский конденсатор так, что нижняя часть пластин конденсатора погружается в жидкость. Конденсатор подключён к батарее, которая поддерживает на обкладках конденсатора разность потенциалов $V$. Расстояние между пластинами конденсатора $d$, плотность жидкости $\rho$, диэлектрическая проницаемость $\varepsilon $. Жидкость несжимаема. На какую высоту поднимется жидкость? Поверхностным натяжением пренебречь.		$6.6.21.$ В широкий сосуд с жидкостью ставится вертикально плоский конденсатор так, что нижняя часть пластин конденсатора погружается в жидкость. Конденсатор подключён к батарее, которая поддерживает на обкладках конденсатора разность потенциалов $V$. Расстояние между пластинами конденсатора $d$, плотность жидкости $\rho$, диэлектрическая проницаемость $\varepsilon $. Жидкость несжимаема. На какую высоту поднимется жидкость? Поверхностным натяжением пренебречь.

	![К задаче $6.6.21.$\|561x439, 50%](../../img/6.6.21/statement.png)		![К задаче $6.6.21.$\|561x439, 50%](../../img/6.6.21/statement.png)

	### Решение:		### Решение:

	Пусть столб жидкости поднялся на высоту $h$ Емкость конденсатора представит емкость паралельных конденсаторов $C_1$ и $C_2$		Пусть столб жидкости поднялся на высоту $h$ Емкость конденсатора представит емкость паралельных конденсаторов $C_1$ и $C_2$

	![К задаче 6.6.20\|688x399, 50%](../../img/6.6.21/sol1.png)		![К задаче 6.6.20\|688x399, 50%](../../img/6.6.21/sol1.png)
	@@ -12,7 +12,7 @@Решение:

	Что сводится к предыдущещей [6.6.20](/ru/6.6.20)!		Что сводится к предыдущещей [6.6.20](/ru/6.6.20)!

	Ёмкость конденсатора представит емкость паралельных конденсаторов $C_1$ и $C_2$ для обкладок размера $a ~~\cdot~~ a$		Ёмкость конденсатора представит емкость паралельных конденсаторов $C_1$ и $C_2$ для обкладок размера $a \times a$

	$$		$$
	C_1 = \frac{\varepsilon_0 a}{d}(a-x)		C_1 = \frac{\varepsilon_0 a}{d}(a-x)
	$$		$$

	$$		$$
	C_2 = \frac{\varepsilon_0 a x\varepsilon }{d}		C_2 = \frac{\varepsilon_0 a x\varepsilon }{d}
	$$		$$

	Полная ёмкость системы конденсаторов:		Полная ёмкость системы конденсаторов:

	$$		$$
	C = C_1+C_2=\frac{\varepsilon_0 a}{d}(a+x(\varepsilon -1))		C = C_1+C_2=\frac{\varepsilon_0 a}{d}(a+x(\varepsilon -1))
	$$		$$

	Расчитаем энергию $E=\frac{CV^2}{2}$ этой системы:		Расчитаем энергию $E=\frac{CV^2}{2}$ этой системы:

	$$		$$
	E_С=\frac{\varepsilon_0 a V^2}{2d}(a+x(\varepsilon -1))		E_С=\frac{\varepsilon_0 a V^2}{2d}(a+x(\varepsilon -1))
	$$		$$

	Потенциальная энергия столба жидкости составит:		Потенциальная энергия столба жидкости составит:

	$$		$$
	E_P=-\rho g da \frac{h^2}{2}		E_P=-\rho g da \frac{h^2}{2}
	$$		$$

	Полная энергия:		Полная энергия:

	$$		$$
	E=E_P+E_С=-\rho g da \frac{h^2}{2}+\frac{\varepsilon_0 a V^2}{2d}(a+h(\varepsilon -1))		E=E_P+E_С=-\rho g da \frac{h^2}{2}+\frac{\varepsilon_0 a V^2}{2d}(a+h(\varepsilon -1))
	$$		$$

	Энергия будет минимальна при $\frac{dE}{dh}=0$:		Энергия будет минимальна при $\frac{dE}{dh}=0$:

	$$		$$
	\frac{\varepsilon_0(\varepsilon -1) a V^2}{2d}-\rho g dah=0		\frac{\varepsilon_0(\varepsilon -1) a V^2}{2d}-\rho g dah=0
	$$		$$

	Выражаем высоту на которую поднимется столб жидкости		Выражаем высоту на которую поднимется столб жидкости

	$$		$$
	h=\frac{\varepsilon_0 (\varepsilon -1)V^2}{2 \rho gd^2 }		h=\frac{\varepsilon_0 (\varepsilon -1)V^2}{2 \rho gd^2 }
	$$		$$

	#### Ответ: $h=\frac{\varepsilon_0 (\varepsilon -1)V^2}{2 \rho gd^2 }$		#### Ответ: $h=\frac{\varepsilon_0 (\varepsilon -1)V^2}{2 \rho gd^2 }$
	unchanged lines 43