Edits to “Условие”, “Решение”
ru/2.6.43.md
+46 −21
| @@ -1,44 +1,69 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $2.6.43.$ | ||
| + | $2.6.43.$ | ||
| − | __Пример условия__: | ||
| − | $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. | ||
| + | С орбитальной станции, имеющей круговую орбиту радиуса R и скорость u, запустили зонд, сообщив ему мгновенно в радиальном направлении дополнительную скорость V . Докажите, что когда зонд и станция видны из цен-тра планеты под одинаковым углом к направлению на точку старта, их скорости отличаются по-прежнему на величину V . На каком расстоянии от центра плане-ты находится зонд, когда этот угол наблюдения равен α? | ||
| + | |||
| ### Решение | |||
| − | |||
| + | Записываем законы нютона для вращающегося корабля | ||
| + | $$ | ||
| + | \frac{mu^2}{R}=\frac | ||
| + | {GMm}{R^2 | ||
| + | } | ||
| + | $$ | ||
| + | выражаем | ||
| + | $$ | ||
| + | u^2=\frac{GM}{R}$$ | ||
| + | записываем закон сохранения момента импульса; | ||
| + | $L=muR$ | ||
| + | вспомним,semi lactus rectum | ||
| − | |||
| − | Ускорение тела задано как | ||
| + | $$ | ||
| + | r={\frac{r_o}{1-\epsilon cos(\phi)}} | ||
| + | $$ | ||
| + | запишем закон сохранения энергия; | ||
| + | $$ | ||
| + | E=\frac{m(v^2+u^2)}{2}-\frac{GMm}{R}$$ | ||
| + | и из верховного управление следут что $$Е=\frac{m(V^2-u^2)}{2}$$ | ||
| + | запишем эсцентриситет | ||
| + | $$ | ||
| + | \epsilon=\sqrt{1+{\frac{2EL^2}{G^2M^2m^3}}}$$ | ||
| − | $$a(t) = bt$$ | ||
| + | Давайте,найдем | ||
| + | эсцентриситет | ||
| + | $$\epsilon=\frac{V}{u}$$ | ||
| − | |||
| + | иза начала отсчёта | ||
| + | $$ | ||
| + | cos(\phi)=sin(\alpha)$$ | ||
| + | так как | ||
| + | $$ | ||
| + | r_0=\frac{L^2}{GMm^2}$$ | ||
| + | отсюда следует что | ||
| + | $$ | ||
| + | r_0=R$$ | ||
| + | от этого всего получаем что | ||
| + | $$ | ||
| + | r=\frac{uR}{u-Vsin(\alpha)}$$ | ||
| − | $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ | ||
| − | Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: | ||
| − | $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ | ||
| − | Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: | ||
| − | $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ | ||
| − | Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: | ||
| − | $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ | ||
| − | Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: | ||
| − | $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ | ||
| − | #### Ответ | ||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] | ||
| − | __Пример ответа__: | ||
| − | $$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $$ | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| @@ -1,44 +1,69 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $2.6.43.$ |
$2.6.43.$ | ||
| __Пример условия__: | |||
| $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. | |||
| С орбитальной станции, имеющей круговую орбиту радиуса R и скорость u, запустили зонд, сообщив ему мгновенно в радиальном направлении дополнительную скорость V . Докажите, что когда зонд и станция видны из цен-тра планеты под одинаковым углом к направлению на точку старта, их скорости отличаются по-прежнему на величину V . На каком расстоянии от центра плане-ты находится зонд, когда этот угол наблюдения равен α? | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
| Записываем законы нютона для вращающегося корабля | |||
| $$ | |||
| \frac{mu^2}{R}=\frac | |||
| {GMm}{R^2 | |||
| } | |||
| $$ | |||
| выражаем | |||
| $$ | |||
| u^2=\frac{GM}{R}$$ | |||
| записываем закон сохранения момента импульса; | |||
| $L=muR$ | |||
| вспомним,semi lactus rectum | |||
| $$ | |||
| Ускорение тела задано как | r={\frac{r_o}{1-\epsilon cos(\phi)}} | ||
| $$ | |||
| запишем закон сохранения энергия; | |||
| $$ | |||
| E=\frac{m(v^2+u^2)}{2}-\frac{GMm}{R}$$ | |||
| и из верховного управление следут что $$Е=\frac{m(V^2-u^2)}{2}$$ | |||
| запишем эсцентриситет | |||
| $$ | |||
| \epsilon=\sqrt{1+{\frac{2EL^2}{G^2M^2m^3}}}$$ | |||
| $$a(t) = bt$$ | Давайте,найдем | ||
| эсцентриситет | |||
| $$\epsilon=\frac{V}{u}$$ | |||
| иза начала отсчёта | |||
| $$ | |||
| cos(\phi)=sin(\alpha)$$ | |||
| так как | |||
| $$ | |||
| r_0=\frac{L^2}{GMm^2}$$ | |||
| отсюда следует что | |||
| $$ | |||
| r_0=R$$ | |||
| от этого всего получаем что | |||
| $$ | |||
| r=\frac{uR}{u-Vsin(\alpha)}$$ | |||
| $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ | |||
| Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: | |||
| $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ | |||
| Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: | |||
| $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ | |||
| Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: | |||
| $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ | |||
| Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: | |||
| $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ | |||
| #### Ответ | |||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] | |||
| __Пример ответа__: | |||
| $$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $$ | |||