Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

astrosander edited
View solution History
revision #15871 parent #15866 ← older newer →
ru/2.6.43.md +78 −1
@@ -1,1 +1,78 @@
−555*if(now()=sysdate(),sleep(15),0)
+### Условие
+
+$2.6.43.$
+
+
+С орбитальной станции, имеющей круговую орбиту радиуса $R$ и скорость $u$, запустили зонд, сообщив ему мгновенно в радиальном направлении дополнительную скорость $V$. Докажите, что когда зонд и станция видны из цен-тра планеты под одинаковым углом к направлению на точку старта, их скорости отличаются по-прежнему на величину $V$. На каком расстоянии от центра планеты находится зонд, когда этот угол наблюдения равен $α$?
+
+
+### Решение
+
+Записываем законы Ньютона для вращающегося корабля
+
+$$
+\frac{mu^2}{R}=\frac
+{GMm}{R^2
+}
+$$
+
+Выражаем квадрат скорости
+
+$$
+u^2=\frac{GM}{R}$$
+
+Записываем закон сохранения момента импульса
+
+$$
+L=muR
+$$
+
+Существует такое понятие как Semi lactus rectum. Оно есть определение радиус-вектора тела отсчитывемый от центра планеты
+
+$$
+\vec{r}={\frac{\vec{r_o}}{1-\epsilon cos(\phi)}}
+$$
+
+Запишем закон сохранения энергии
+
+$$
+E=\frac{m(v^2+u^2)}{2}-\frac{GMm}{R}$$
+
+И из верхнего уравнения следует что: $$Е=\frac{m(V^2-u^2)}{2}$$
+Запишем эсцентриситет (параметр радиус-вектора от центра планеты до тело)
+
+$$
+\epsilon=\sqrt{1+{\frac{2EL^2}{G^2M^2m^3}}}$$
+
+Подставим что нам известно и выразим эсцентриситет
+
+$$\epsilon=\frac{V}{u}$$
+
+Отсчёт для Semi lactus rectum ведётся с другой стороны, то есть $\phi=\frac{π}{2}-α$
+
+Остюда:
+
+$$
+cos(\phi)=sin(\alpha)$$
+
+Так же мы знаем:
+
+$$
+r_0=\frac{L^2}{GMm^2}$$
+
+Отсюда следует что:
+
+$$
+r_0=R$$
+
+От этого всего получаем что:
+
+$$
+\boxed{r=\frac{uR}{u-Vsin(\alpha)}}
+$$
+
+#### Ответ
+
+$$
+r=\frac{uR}{u-Vsin(\alpha)}
+$$