Edit to “Условие”

astrosander edited Dec 9, 2025, 1:54 PM

View solution History

revision #15872 parent #15871 ← older newer →

ru/2.6.43.md +1 −5

		@@ -1,10 +1,6 @@
			### Условие

		−	$2.6.43.$
		−
		−
		−	С орбитальной станции, имеющей круговую орбиту радиуса $R$ и скорость $u$, запустили зонд, сообщив ему мгновенно в радиальном направлении дополнительную скорость $V$. Докажите, что когда зонд и станция видны из цен-тра планеты под одинаковым углом к направлению на точку старта, их скорости отличаются по-прежнему на величину $V$. На каком расстоянии от центра планеты находится зонд, когда этот угол наблюдения равен $α$?
		−
		+	$2.6.43.$ С орбитальной станции, имеющей круговую орбиту радиуса $R$ и скорость $u$, запустили зонд, сообщив ему мгновенно в радиальном направлении дополнительную скорость $V$. Докажите, что когда зонд и станция видны из цен-тра планеты под одинаковым углом к направлению на точку старта, их скорости отличаются по-прежнему на величину $V$. На каком расстоянии от центра планеты находится зонд, когда этот угол наблюдения равен $α$?

			### Решение

			Записываем законы Ньютона для вращающегося корабля

			$$
			\frac{mu^2}{R}=\frac
			{GMm}{R^2
			}
			$$

			Выражаем квадрат скорости

			$$
			u^2=\frac{GM}{R}$$

			Записываем закон сохранения момента импульса

			$$
			L=muR
			$$

			Существует такое понятие как Semi lactus rectum. Оно есть определение радиус-вектора тела отсчитывемый от центра планеты

			$$
			\vec{r}={\frac{\vec{r_o}}{1-\epsilon cos(\phi)}}
			$$

			Запишем закон сохранения энергии

			$$
			E=\frac{m(v^2+u^2)}{2}-\frac{GMm}{R}$$

			И из верхнего уравнения следует что: $$Е=\frac{m(V^2-u^2)}{2}$$
			Запишем эсцентриситет (параметр радиус-вектора от центра планеты до тело)

			$$
			\epsilon=\sqrt{1+{\frac{2EL^2}{G^2M^2m^3}}}$$

			Подставим что нам известно и выразим эсцентриситет

			$$\epsilon=\frac{V}{u}$$

			Отсчёт для Semi lactus rectum ведётся с другой стороны, то есть $\phi=\frac{π}{2}-α$

			Остюда:

			$$
			cos(\phi)=sin(\alpha)$$

			Так же мы знаем:

			$$
			r_0=\frac{L^2}{GMm^2}$$

			Отсюда следует что:

			$$
			r_0=R$$

			От этого всего получаем что:

			$$
			\boxed{r=\frac{uR}{u-Vsin(\alpha)}}
			$$

			#### Ответ

			$$
			r=\frac{uR}{u-Vsin(\alpha)}
			$$
		unchanged lines 68

	@@ -1,10 +1,6 @@
	### Условие		### Условие

	$2.6.43.$		$2.6.43.$ С орбитальной станции, имеющей круговую орбиту радиуса $R$ и скорость $u$, запустили зонд, сообщив ему мгновенно в радиальном направлении дополнительную скорость $V$. Докажите, что когда зонд и станция видны из цен-тра планеты под одинаковым углом к направлению на точку старта, их скорости отличаются по-прежнему на величину $V$. На каком расстоянии от центра планеты находится зонд, когда этот угол наблюдения равен $α$?


	С орбитальной станции, имеющей круговую орбиту радиуса $R$ и скорость $u$, запустили зонд, сообщив ему мгновенно в радиальном направлении дополнительную скорость $V$. Докажите, что когда зонд и станция видны из цен-тра планеты под одинаковым углом к направлению на точку старта, их скорости отличаются по-прежнему на величину $V$. На каком расстоянии от центра планеты находится зонд, когда этот угол наблюдения равен $α$?


	### Решение		### Решение

	Записываем законы Ньютона для вращающегося корабля		Записываем законы Ньютона для вращающегося корабля

	$$		$$
	\frac{mu^2}{R}=\frac		\frac{mu^2}{R}=\frac
	{GMm}{R^2		{GMm}{R^2
	}		}
	$$		$$

	Выражаем квадрат скорости		Выражаем квадрат скорости

	$$		$$
	u^2=\frac{GM}{R}$$		u^2=\frac{GM}{R}$$

	Записываем закон сохранения момента импульса		Записываем закон сохранения момента импульса

	$$		$$
	L=muR		L=muR
	$$		$$

	Существует такое понятие как Semi lactus rectum. Оно есть определение радиус-вектора тела отсчитывемый от центра планеты		Существует такое понятие как Semi lactus rectum. Оно есть определение радиус-вектора тела отсчитывемый от центра планеты

	$$		$$
	\vec{r}={\frac{\vec{r_o}}{1-\epsilon cos(\phi)}}		\vec{r}={\frac{\vec{r_o}}{1-\epsilon cos(\phi)}}
	$$		$$

	Запишем закон сохранения энергии		Запишем закон сохранения энергии

	$$		$$
	E=\frac{m(v^2+u^2)}{2}-\frac{GMm}{R}$$		E=\frac{m(v^2+u^2)}{2}-\frac{GMm}{R}$$

	И из верхнего уравнения следует что: $$Е=\frac{m(V^2-u^2)}{2}$$		И из верхнего уравнения следует что: $$Е=\frac{m(V^2-u^2)}{2}$$
	Запишем эсцентриситет (параметр радиус-вектора от центра планеты до тело)		Запишем эсцентриситет (параметр радиус-вектора от центра планеты до тело)

	$$		$$
	\epsilon=\sqrt{1+{\frac{2EL^2}{G^2M^2m^3}}}$$		\epsilon=\sqrt{1+{\frac{2EL^2}{G^2M^2m^3}}}$$

	Подставим что нам известно и выразим эсцентриситет		Подставим что нам известно и выразим эсцентриситет

	$$\epsilon=\frac{V}{u}$$		$$\epsilon=\frac{V}{u}$$

	Отсчёт для Semi lactus rectum ведётся с другой стороны, то есть $\phi=\frac{π}{2}-α$		Отсчёт для Semi lactus rectum ведётся с другой стороны, то есть $\phi=\frac{π}{2}-α$

	Остюда:		Остюда:

	$$		$$
	cos(\phi)=sin(\alpha)$$		cos(\phi)=sin(\alpha)$$

	Так же мы знаем:		Так же мы знаем:

	$$		$$
	r_0=\frac{L^2}{GMm^2}$$		r_0=\frac{L^2}{GMm^2}$$

	Отсюда следует что:		Отсюда следует что:

	$$		$$
	r_0=R$$		r_0=R$$

	От этого всего получаем что:		От этого всего получаем что:

	$$		$$
	\boxed{r=\frac{uR}{u-Vsin(\alpha)}}		\boxed{r=\frac{uR}{u-Vsin(\alpha)}}
	$$		$$

	#### Ответ		#### Ответ

	$$		$$
	r=\frac{uR}{u-Vsin(\alpha)}		r=\frac{uR}{u-Vsin(\alpha)}
	$$		$$
	unchanged lines 68