| @@ -1,74 +1,62 @@ |
| ### Условие |
| ### Условие |
| |
| |
| $2.6.43.$ С орбитальной станции, имеющей круговую орбиту радиуса $R$ и скорость $u$, запустили зонд, сообщив ему мгновенно в радиальном направлении дополнительную скорость $V$. Докажите, что когда зонд и станция видны из цен-тра планеты под одинаковым углом к направлению на точку старта, их скорости отличаются по-прежнему на величину $V$. На каком расстоянии от центра планеты находится зонд, когда этот угол наблюдения равен $α$? |
| $2.6.43.$ |
| |
| |
| ### Решение |
| |
| |
| |
| Записываем законы Ньютона для вращающегося корабля |
| С орбитальной станции, имеющей круговую орбиту радиуса $R$ и скорость $u$, запустили зонд, сообщив ему мгновенно в радиальном направлении дополнительную скорость $V$. Докажите, что когда зонд и станция видны из цен-тра планеты под одинаковым углом к направлению на точку старта, их скорости отличаются по-прежнему на величину $V$. На каком расстоянии от центра планеты находится зонд, когда этот угол наблюдения равен $α$? |
| |
| |
| |
| |
| |
| ### Решение |
| |
| |
| |
| Записываем законы Ньютона для вращающегося корабля |
| $$ |
| $$ |
| \frac{mu^2}{R}=\frac |
| \frac{mu^2}{R}=\frac |
| {GMm}{R^2 |
| {GMm}{R^2 |
| } |
| } |
| $$ |
| $$ |
| |
| |
| Выражаем квадрат скорости |
| Выражаем квадрат скорости |
| |
| |
| $$ |
| $$ |
| u^2=\frac{GM}{R}$$ |
| u^2=\frac{GM}{R}$$ |
| |
| |
| Записываем закон сохранения момента импульса |
| Записываем закон сохранения момента импульса |
| |
| |
| $$ |
| $$ |
| L=muR |
| L=muR |
| $$ |
| $$ |
| |
| |
| Существует такое понятие как Semi lactus rectum. Оно есть определение радиус-вектора тела отсчитывемый от центра планеты |
| Существует такое понятие как Semi lactus rectum. Оно есть определение радиус-вектора тела отсчитывемый от центра планеты |
| |
| |
| $$ |
| $$ |
| \vec{r}={\frac{\vec{r_o}}{1-\epsilon cos(\phi)}} |
| \vec{r}={\frac{\vec{r_o}}{1-\epsilon cos(\phi)}} |
| $$ |
| $$ |
| |
| |
| Запишем закон сохранения энергии |
| Запишем закон сохранения энергии |
| |
| |
| $$ |
| $$ |
| E=\frac{m(v^2+u^2)}{2}-\frac{GMm}{R}$$ |
| E=\frac{m(v^2+u^2)}{2}-\frac{GMm}{R}$$ |
| |
| |
| И из верхнего уравнения следует что: $$Е=\frac{m(V^2-u^2)}{2}$$ |
| И из верхнего уравнения следует что: $$Е=\frac{m(V^2-u^2)}{2}$$ |
| Запишем эсцентриситет (параметр радиус-вектора от центра планеты до тело) |
| Запишем эсцентриситет (параметр радиус-вектора от центра планеты до тело) |
| |
| |
| |
| |
| $$ |
| $$ |
| \epsilon=\sqrt{1+{\frac{2EL^2}{G^2M^2m^3}}}$$ |
| \epsilon=\sqrt{1+{\frac{2EL^2}{G^2M^2m^3}}}$$ |
| |
| |
| Подставим что нам известно и выразим эсцентриситет |
| Подставим что нам известно и выразим эсцентриситет |
| |
| |
| $$\epsilon=\frac{V}{u}$$ |
| $$\epsilon=\frac{V}{u}$$ |
| |
| |
| Отсчёт для Semi lactus rectum ведётся с другой стороны, то есть $\phi=\frac{π}{2}-α$ |
| Отсчёт для Semi lactus rectum ведётся с другой стороны, то есть $\phi=\frac{π}{2}-α$ |
| |
| |
| Остюда: |
| Остюда: |
| |
| |
| $$ |
| $$ |
| cos(\phi)=sin(\alpha)$$ |
| cos(\phi)=sin(\alpha)$$ |
| |
| |
| Так же мы знаем: |
| Так же мы знаем: |
| |
| |
| $$ |
| $$ |
| r_0=\frac{L^2}{GMm^2}$$ |
| r_0=\frac{L^2}{GMm^2}$$ |
| |
| Отсюда следует что: |
| Отсюда следует что: |
| |
| |
| |
| $$ |
| $$ |
| r_0=R$$ |
| r_0=R$$ |
| |
| |
| От этого всего получаем что: |
| От этого всего получаем что: |
| |
| |
| $$ |
| $$ |
| \boxed{r=\frac{uR}{u-Vsin(\alpha)}} |
| \boxed{r=\frac{uR}{u-Vsin(\alpha)}} |
| $$ |
| $$ |
| |
| |
| #### Ответ |
| |
| |
| |
| |
| #### Ответ |
| $$ |
| $$ |
| r=\frac{uR}{u-Vsin(\alpha)} |
| r=\frac{uR}{u-Vsin(\alpha)} |
| $$ |
| $$ |
