Edit
ru/2.6.43.md
+1 −76
| @@ -1,76 +1,1 @@ | |||
| − | ### Условие | ||
| − | |||
| − | $2.6.43.$ | ||
| − | |||
| − | |||
| − | С орбитальной станции, имеющей круговую орбиту радиуса $R$ и скорость $u$, запустили зонд, сообщив ему мгновенно в радиальном направлении дополнительную скорость $V$. Докажите, что когда зонд и станция видны из цен-тра планеты под одинаковым углом к направлению на точку старта, их скорости отличаются по-прежнему на величину $V$. На каком расстоянии от центра планеты находится зонд, когда этот угол наблюдения равен $α$? | ||
| − | |||
| − | |||
| − | ### Решение | ||
| − | |||
| − | Записываем законы Ньютона для вращающегося корабля | ||
| − | $$ | ||
| − | \frac{mu^2}{R}=\frac | ||
| − | {GMm}{R^2 | ||
| − | } | ||
| − | $$ | ||
| − | Выражаем квадрат скорости | ||
| − | $$ | ||
| − | u^2=\frac{GM}{R}$$ | ||
| − | Записываем закон сохранения момента импульса | ||
| − | $$ | ||
| − | L=muR | ||
| − | $$ | ||
| − | Существует такое понятие как Semi lactus rectum. Оно есть определение радиус-вектора тела отсчитывемый от центра планеты | ||
| − | |||
| − | $$ | ||
| − | \vec{r}={\frac{\vec{r_o}}{1-\epsilon cos(\phi)}} | ||
| − | $$ | ||
| − | Запишем закон сохранения энергии | ||
| − | $$ | ||
| − | E=\frac{m(v^2+u^2)}{2}-\frac{GMm}{R}$$ | ||
| − | И из верхнего уравнения следует что: $$Е=\frac{m(V^2-u^2)}{2}$$ | ||
| − | Запишем эсцентриситет (параметр радиус-вектора от центра планеты до тело) | ||
| − | |||
| − | |||
| − | $$ | ||
| − | \epsilon=\sqrt{1+{\frac{2EL^2}{G^2M^2m^3}}}$$ | ||
| − | |||
| − | Подставим что нам известно и выразим эсцентриситет | ||
| − | $$\epsilon=\frac{V}{u}$$ | ||
| − | |||
| − | Отсчёт для Semi lactus rectum ведётся с другой стороны, то есть $\phi=\frac{π}{2}-α$ | ||
| − | |||
| − | Остюда: | ||
| − | $$ | ||
| − | cos(\phi)=sin(\alpha)$$ | ||
| − | Так же мы знаем: | ||
| − | $$ | ||
| − | r_0=\frac{L^2}{GMm^2}$$ | ||
| − | Отсюда следует что: | ||
| − | $$ | ||
| − | r_0=R$$ | ||
| − | От этого всего получаем что: | ||
| − | $$ | ||
| − | \boxed{r=\frac{uR}{u-Vsin(\alpha)}} | ||
| − | $$ | ||
| − | |||
| − | |||
| − | #### Ответ | ||
| − | $$ | ||
| − | r=\frac{uR}{u-Vsin(\alpha)} | ||
| − | $$ | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| + | 555 | ||
| @@ -1,76 +1,1 @@ | |||
| ### Условие | 555 | ||
| $2.6.43.$ | |||
| С орбитальной станции, имеющей круговую орбиту радиуса $R$ и скорость $u$, запустили зонд, сообщив ему мгновенно в радиальном направлении дополнительную скорость $V$. Докажите, что когда зонд и станция видны из цен-тра планеты под одинаковым углом к направлению на точку старта, их скорости отличаются по-прежнему на величину $V$. На каком расстоянии от центра планеты находится зонд, когда этот угол наблюдения равен $α$? | |||
| ### Решение | |||
| Записываем законы Ньютона для вращающегося корабля | |||
| $$ | |||
| \frac{mu^2}{R}=\frac | |||
| {GMm}{R^2 | |||
| } | |||
| $$ | |||
| Выражаем квадрат скорости | |||
| $$ | |||
| u^2=\frac{GM}{R}$$ | |||
| Записываем закон сохранения момента импульса | |||
| $$ | |||
| L=muR | |||
| $$ | |||
| Существует такое понятие как Semi lactus rectum. Оно есть определение радиус-вектора тела отсчитывемый от центра планеты | |||
| $$ | |||
| \vec{r}={\frac{\vec{r_o}}{1-\epsilon cos(\phi)}} | |||
| $$ | |||
| Запишем закон сохранения энергии | |||
| $$ | |||
| E=\frac{m(v^2+u^2)}{2}-\frac{GMm}{R}$$ | |||
| И из верхнего уравнения следует что: $$Е=\frac{m(V^2-u^2)}{2}$$ | |||
| Запишем эсцентриситет (параметр радиус-вектора от центра планеты до тело) | |||
| $$ | |||
| \epsilon=\sqrt{1+{\frac{2EL^2}{G^2M^2m^3}}}$$ | |||
| Подставим что нам известно и выразим эсцентриситет | |||
| $$\epsilon=\frac{V}{u}$$ | |||
| Отсчёт для Semi lactus rectum ведётся с другой стороны, то есть $\phi=\frac{π}{2}-α$ | |||
| Остюда: | |||
| $$ | |||
| cos(\phi)=sin(\alpha)$$ | |||
| Так же мы знаем: | |||
| $$ | |||
| r_0=\frac{L^2}{GMm^2}$$ | |||
| Отсюда следует что: | |||
| $$ | |||
| r_0=R$$ | |||
| От этого всего получаем что: | |||
| $$ | |||
| \boxed{r=\frac{uR}{u-Vsin(\alpha)}} | |||
| $$ | |||
| #### Ответ | |||
| $$ | |||
| r=\frac{uR}{u-Vsin(\alpha)} | |||
| $$ | |||